Si effettuano n estrazioni con reinserimento da un mazzo di carte: dopo che una carta è stata estratta, essa viene rimessa nel mazzo, questo viene mescolato, e si estrae successivamente un’altra carta, ripetendo la procedura n volte. Calcolare la probabilità che effettuando 100 estrazioni con reinserimento si ottenga 20 volte una carta di quadri

In un mazzo di carte normali, la probabilità di estrarre una carta di quadri è esattamente 0,25. Consideriamo una variabile aleatoria X che indica il numero delle carte di quadri ottenute in 100 estrazioni con rimpiazzo; sappiamo dalla probabilità che X è una variabile aleatoria con legge binomiale di parametri n = 100 e p = 0,25.

La media di una variabile aleatoria binomiale è $E[X] = np = 100 * 0,25 = 25$, mentre la varianza vale: $Var(X) = np(1-p) = 100 * 0,25 * 0,75 = 18,75$.

Per calcolare la probabilità del problema potremmo determinare il valore di $P(X = 20)$, ma i calcoli che ne deriverebbero sarebbero troppo complessi, a causa dei coefficienti binomiali e dei fattoriali.

Possiamo quindi procedere utilizzando la statistica e l’approssimazione normale, fornitaci dal teorema del limite centrale. In particolare, poiché X assume solo valori interi, la probabilità da noi cercata può essere espressa nel seguente modo:

$ P(X = 20) = P(19,5 < X < 20,5) $

Ricordiamo che per l’approssimazione normale, se a X togliamo la sua media, e dividiamo tutto per la sua deviazione standard, otteniamo una variabile aleatoria che, per n molto grande, si comporta come una normale standard.

Quindi possiamo procedere nel seguente modo:

$ P(19,5 < X < 20,5) = $

$P( frac(19,5 – E[X] )( Var(X) ) < frac(X – E[X])(Var(X)) < frac(20,5 – E[X])(Var(X))) $

Indichiamo con W la normale standard in questione, e sostituiamo i valori numerici di media e varianza:

$ P( frac(19,5 – 25 )( sqrt(18,75) ) < W < frac(20,5 – 25 )( sqrt(18,75) ) = $

$ P( frac( -5,5 )( 4,33 ) < W < frac( -4,5 )(4,33) = $

$ P( -1,2702 < W < -1,0392) $

Se indichiamo con Φ la funzione di distribuzione della normale standard, possiamo scrivere:

$ P( -1,2702 < W < -1,0392) = P(W < -1,0392) – P( W < -1,2702 ) = Φ(-1,0392) – Φ(-1,2702 ) = $

$ – Φ(1,0392) + Φ(1,2702 ) = Φ(1,2702 ) – Φ(1,0392) $

Possiamo ricavare i valori della funzione Φ dalla tabella della normale standard; si ottiene:

$ Φ(1,2702 ) – Φ(1,0392) = 0,898 – 0,8508 = 0,0472 $

 

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