Si lancia n volte una moneta equilibrata e sia $S_n / n$ la proporzione di teste uscite; calcolare il minimo n per cui risulta: $P(| frac(S_n)(n) – 1/2| ≤ 0,05) ≥ 0,95$

Consideriamo una successione di variabili aleatorie bernoulliane ${X_n}$ per cui $X_i$ assume il valore 1 se l’i-esimo lancio della moneta fornisce il valore testa, e 0 altrimenti.

Indicando con $S_n$ la somma campionaria, ovvero $S_n = X_1 + … + X_n$, abbiamo che tale somma indica il numero di teste uscite in n lanci, e tale variabile aleatoria ha una legge binomiale di parametri n e p = 0,5.

Dalle formule note possiamo ricavare media e varianza della somma campionaria:

$E[S_n] = np = n/2 $

$Var[S_n] = np(1-p) = n * 0,5 * 0,5 = n/4 $

La probabilità richiesta dal problema può essere calcolata utilizzando l’approssimazione normale fornita dal teorema del limite centrale.

Proviamo a riscrivere tale probabilità, togliendo il valore assoluto:

$ P(| frac(S_n)(n) – 1/2| ≤ 0,05) = P( -0,05 ≤ frac(S_n)(n) – 1/2 ≤ 0,05) = P( 1/2 – 0,05 ≤ frac(S_n)(n) ≤ 0,05 + 1/2) $

$ P( 0,45 ≤ frac(S_n)(n) ≤ 0,55) = P( 0,45 n ≤ S_n ≤ 0,55 n) $

Sottraendo ai membri della disuguaglianza la media di $S_n$, e dividendo tutto per la sua deviazione standard otteniamo una variabile aleatoria W approssimabile con una normale standard, che deve essere compresa in un cero intervallo:

$ P( 0,45 n ≤ S_n ≤ 0,55 n) = P( frac(0,45 n – E[S_n])( sqrt(Var(S_n)) ) ≤ W ≤ frac(0,55 n – E[S_n])( sqrt(Var(S_n)) )) $

Sostituiamo i valori numerici:

$ P( frac(0,45n – n/2)( sqrt(n/4) ) ≤ W ≤ frac(0,55 n – n/2 )( sqrt(n/4) )) = $

$ P( W ≤ frac(0,55 n – n/2 )( sqrt(n/4) )) – P( W ≤ frac(0,45 n – n/2 )( sqrt(n/4) )) $

Possiamo scrivere tali disuguaglianze introducendo la funzione Φ, ovvero la funzione di distribuzione della normale standard:

$ Φ(frac(0,55 n – n/2 )( sqrt(n/4) )) – Φ( frac(0,45 n – n/2 )( sqrt(n/4) )) $

Proviamo a riscrivere tali funzioni, in modo che ottengano una forma più facilmente trattabile:

$ Φ(frac(0,55 n – n/2 )( 1/2 sqrt(n) )) – Φ( frac(0,45 n – n/2 )( 1/2 sqrt(n) )) = $

$ Φ(frac(1,1 n – n )( sqrt(n) )) – Φ( frac(0,9 n – n )( sqrt(n) )) = $

$ Φ(frac(0,1 n )( sqrt(n) )) – Φ( frac( -0,1 n )( sqrt(n) )) = $

$ Φ( 0,1 sqrt(n) ) – Φ( -0,1 sqrt(n) ) = 2 Φ( 0,1 sqrt(n) ) – 1$

Volendo rendere tale quantità maggiore o uguale di 0,95, dobbiamo cercare sulla tabella della distribuzione normale standard il valore di Φ tale che:

$ 2 Φ( 0,1 sqrt(n) ) – 1 ≥ 0,95 to Φ( 0,1 sqrt(n) ) ≥ 1,95/2 = 0,975$

Dato che il quantile di Φ di ordine 0,975 è 1,96, e poiché la funzione Φ è una funzione crescente, dobbiamo porre:

$0,1 sqrt(n) ≥ 1,96 to sqrt(n) ≥ 19,6 $

Risolvendo la disequazione si ottiene $n ≥ 385$.

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