_stan
di _stan
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  1. Qual è la densità discreta di X? E di Y?
  2. Determinare E(X) e E(Y).
  3. Trovare la legge di Z = min(X,Y) e calcolare E(Z).
  4. Calcolare P(X+Y=5).

1) Sia X che Y sono variabili aleatorie che indicano l'istante di primo successo in uno schema di prove Bernoulliane di tipo successo-insuccesso; di conseguenza, X e Y seguono una legge geometrica modificata. La probabilità di ottenere testa o croce nel lancio di una moneta non truccata è 0,5, quindi la legge di X sarà:

[math] P(X=k) = 0,5 \cdot (1-0,5)^{k-1} = 0,5 \cdot (0,5)^{k-1} = (0,5)^k [/math]

Per ottenere un valore minore o uguale a 4 nel lancio di un dado regolare (ovvero ottenere 1 o 2 o 3 o 4), sapendo che la probabilità di uscita di ogni valore

[math]\frac{1}{6}[/math]
, è data da:

[math] p = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = 4 \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{3} [/math]

Quindi la legge di Y è:

[math] P(Y=k) = \frac{2}{3} \cdot (1-2/3)^{k-1} [/math]

2) Poiché X ed Y sono variabili geometriche modificate, la loro media è nota, e vale

[math]\frac{1}{p}[/math]
, dove p è la probabilità di successo; quindi, abbiamo che:

[math]E[X] = \frac{\frac{1}{p_X}} = \frac{1}{0,5} = 2 [/math]

[math]E[Y] = \frac{1}{p_Y} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} [/math]

3) La variabile aleatoria Z è definita come

[math]Z = \min (X,Y)[/math]
; la sua legge consiste nel calcolare la probabilità
[math]P(Z=k)[/math]
per tutti i valori di k che essa può assumere.
In particolare, moriamo che tale probabilità o data dalla seguente differenza:

[math]P(Z=k) = P(Z > k-1) - P(Z > k) [/math]

Consideriamo la probabilità

[math]P(Z > k) [/math]
; dalla definizione della variabile aleatoria Z abbiamo che:

[math] P(Z > k) = P(min (X,Y) > k) = P(X > k, Y > k) = P(X > k) P(Y > k) [/math]

poiché le variabili X ed Y sono indipendenti.

Le probabilità in questione si possono ottenere sommando tutte le probabilità che la variabile possa assumere i valori per cui definita; ovvero occorre calcolare le seguenti sommatorie:

[math] \displaystyle P(X > k) = 1 - P(X

[math] \displaystyle P(Y > k) = 1 - P(Y

Per variabili di tipo geometriche modificate, le probabilità in questione sono note, e valgono, in generale

[math](1-p)^k[/math]
; quindi nel nostro caso abbiamo:

[math] P(X > k) = (1-p_X)^k = (1-0,5)^k = (0,5)^k[/math]

[math] P(Y > k) = (1-p_Y)^k = (1-2/3)^k = (1/3)^k[/math]

Sostituendo nella precedente espressione abbiamo che:

[math] P(Z > k) = P(X > k) P(Y > k) = [/math]

[math] = (0,5)^k \cdot (\frac{1}{3})^k = (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})^k = (\frac{1}{6})^k [/math]

Per determinare la probabilità

[math]P(Z > k-1) [/math]
possiamo semplicemente effettuare una sostituzione da k a k-1 nella formula precedente:

[math] P(Z > k-1) = (1/6)^{k-1} [/math]

A questo punto, possiamo determinare la densità di Z:

[math]P(Z=k) = P(Z > k-1) - P(Z > k) = (\frac{1}{6})^{k-1} - (\frac{1}{6})^k = [/math]

[math] = (\frac{1}{6})^{k-1} \cdot (1 - \frac{1}{6}) = \frac{5}{6} \cdot (\frac{1}{6})^{k-1} [/math]

Dalla densità di Z possiamo notare che anche Z segue una legge geometrica modificata, dove la probabilità di successo

[math]\frac{5}{6}[/math]
; di conseguenza, possiamo facilmente determinare la media di Z:

[math] E[Z] = \frac{1}{(p_Z)} = \frac{1}{\frac{5}{6}} = \frac{6}{5} [/math]

4) Il problema ci chiede di calcolare la probabilità

[math]P(X+Y=5)[/math]
; dato che i valori sono piccoli, possiamo calcolare tutti i valori possibili assunti dalle variabili X ed Y affinché la loro somma sia 5; in particolare, le variabili possono assumere le coppie di valore (1,4) e (2,3); scriviamo tutte le probabilità:

[math]P(X+Y=5) = P(X = 1, Y = 4) + P(X = 4, Y = 1) + [/math]

[math] + P(X = 2, Y = 3) + P(X = 3, Y = 2) [/math]

Dall'indipendenza della variabili X ed Y abbiamo:

[math]P(X+Y=5) = P(X = 1) P(Y = 4) + P(X = 4) P(Y = 1) + [/math]

[math] + P(X = 2) P(Y = 3) + P(X = 3) P(Y = 2) [/math]

Dalle leggi di X ed Y, possiamo ricavare i valori di probabilità cercati:

[math]P(X+Y=5) = (\frac{1}{2})^1 \cdot \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{3})^3 + (\frac{1}{2})^4 \cdot \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{3})^0 + [/math]

[math] + (\frac{1}{2})^2 \cdot \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{2})^3 \cdot \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{3})^1 = [/math]

[math] \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{27} + \frac{1}{16} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = [/math]

[math] \frac{1}{81} + \frac{1}{24} + \frac{1}{54} + \frac{1}{36} = [/math]

[math] = 0,01234 + 0,041667 + 0,01852 + 0,02778 = 0,1003 [/math]

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