_stan
di _stan
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  1. Determinare le leggi di T ed S; si può ritenere che T ed S siano variabili aleatorie indipendenti;
  2. Sia
    [math]X = max(T,S)[/math]
    . Trovare la densità discreta di X e la probabilità P(X = 4);
  3. Calcolare P(T = 2S);
  4. Calcolare P(T + S = 3);

1) Entrambe le variabili T ed S rappresentano istanti di primo successo, quindi possono essere modellate con una legge di tipo geometrica modificata. Nel caso di T, poiché la probabilità di ottenere testa in un lancio di 0,5, possiamo determinare direttamente la legge:

[math] P(T = k) = \frac{1}{2} \cdot (1 - \frac{1}{2})^{k-1} = (\frac{1}{2})^k [/math]

Nel caso di S, per ottenere un punteggio pari a 5 dobbiamo considerare le possibili coppie di valori che si devono presentare nei due dadi, che sono le seguenti: (1,4), (2,3), (4,1) e (3,2).

Le possibili coppie totali che possono presentarsi sono 36 (6*6), quindi la probabilità di ottenere una delle 4 coppie precedenti data da:

[math]4/(36) = \frac{1}{9}[/math]
; la legge della variabile S quindi:

[math] P(S = k) = \frac{1}{9} \cdot (1 - \frac{1}{9})^{k-1} = \frac{1}{9} \cdot (\frac{8}{9})^{k-1} [/math]

Affinché le due variabili aleatorie siano indipendenti, dobbiamo dimostrare che:

[math] P(T = k, S = k) = P(T = k) \cdot P(S = k) [/math]

per ogni valore di k.

In questo caso, per, possiamo ragionare semplicemente notando che l'uscita del primo valore testa non influenza l'ottenimento del valore 5 nel lancio dei dadi; quindi, possiamo affermare che le variabili aleatorie siano indipendenti.

2) X rappresenta il numero minimo di lanci necessario affinché sia il numero delle teste uscite che il numero di volte che si ottenuto il punteggio 5, siano almeno 1. La densità discreta di X corrisponde alla probabilità

[math]P(X = k)[/math]
, e può essere ottenuta nel seguente modo:

[math]P(X = k) = P(X

Poiché X è definita come il massimo tra T ed S, possiamo esprimere la probabilità

[math]P(X come:

[math] P(X

Dall'indipendenza di T ed S abbiamo che:

[math] P( T

Ricordando le proprietà della distribuzione geometrica modificata, possiamo scrivere:

[math] \displaystyle P( T

[math] [\frac{1}{2} - (\frac{1}{2})^{k+1}] \cdot 2 = 1 - (\frac{1}{2})^k [/math]

Allo stesso modo, per la variabile S si ha:

[math] \displaystyle P( S

[math] \frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{8}{9} - (\frac{8}{9})^{k+1}}{1 - \frac{8}{9}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{8}{9} - (\frac{8}{9})^{k+1}}{\frac{1}{9}} = [/math]

[math] \frac{9}{8} \cdot \left[\frac{8}{9} - \left(\frac{8}{9}\right)^{k+1}\right] = 1 - \left(\frac{8}{9}\right)^k
[/math]

Quindi moltiplicando i risultati ottenuti abbiamo:

[math] P(X

Per determinare il la probabilità

[math]P(X , possiamo effettuare una semplice sostituzione del parametro, ovvero:

[math] P(X

Possiamo determinare quindi la legge di X:

[math] P(X = k) = P(X

Per determinare il valore della probabilità per X = 4, sostituiamo il valore 4 nella legge di X:

[math]P(X = 4) = [1 - (\frac{1}{2})^4] \cdot [1 - (\frac{8}{9})^4] - [1 - (\frac{1}{2})^3] \cdot [1 - (\frac{8}{9})^3] = [/math]

[math] [1 - 1/(16) ] * [1 - (\frac{8}{9})^4] - [1 - \frac{1}{8}] * [1 - (\frac{8}{9})^3] = (15)/(16) * [1 - (\frac{8}{9})^4] - \frac{7}{8} * [1 - (\frac{8}{9})^3] =
0,0917 ·[/math]

3) Per calcolare la probabilità P(T = 2S), possiamo procedere come segue:

[math] \displaystyle P(T = 2S) = \sum_{k=1}^\infty P(S = k, T = 2k)[/math]

Sfruttando l'indipendenza delle variabili aleatorie, possiamo scrivere:

[math] \displaystyle \sum_{k=1}^\infty P(S = k, T = 2k) = \sum_{k=1}^\infty P(S = k) \cdot P(T = 2k)[/math]

e conoscendo le leggi delle due variabili abbiamo:

[math] \displaystyle \sum_{k=1}^\infty P(S = k) \cdot P(T = 2k) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{9} \cdot (\frac{8}{9})^{k-1} \cdot (\frac{1}{2})^{2k}[/math]

Svolgiamo i calcoli (occorre effettuare un cambio di variabile):

[math] \displaystyle \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{4} \sum_{j=0}^\infty (\frac{8}{9} \cdot \frac{1}{4})^j = \frac{1}{(36)} \sum_{j=0}^\infty (\frac{2}{9})^j [/math]

[math] \frac{1}{(36)} \frac{1}{1 - \frac{2}{9}} = \frac{1}{(36)} \cdot \frac{9}{7} = \frac{1}{(28)}[/math]

4) Per calcolare la probabilità P(T + S = 3), consideriamo una variabile aleatoria Z definita come Z = T + S, quindi la probabilità che dobbiamo calcolare P(Z = 3); notiamo che si può scrivere:

[math] Z = T + S \to S = Z - T [/math]

Sfruttando questa osservazione, procediamo come segue:

[math] \displaystyle P(Z = k) = \sum_{h=1}^{k-1} P(T = h, S = k - h) = [/math]

[math] \displaystyle = \sum_{h=1}^{k-1} P(T = h) \cdot P(S = k - h) [/math]

Sostituiamo le leggi delle variabili aleatorie:

[math] \sum_{h=1}^{k-1} (\frac{1}{2})^h \cdot \frac{1}{9} \cdot (\frac{8}{9})^{k-h-1} [/math]

Invece di determinare la legge di Z, dato che il valore di Z che stiamo cercando piccolo, possiamo sostituirlo direttamente alla nostra espressione, ovvero:

[math] \displaystyle P(Z = 3) = \sum_{h=1}^{3-1} \left(\frac{1}{2}\right)^h \cdot \frac{1}{9} \cdot \left(\frac{8}{9}\right)^{3-h-1} = [/math]

[math] \displaystyle = \sum_{h=1}^{2} \left(\frac{1}{2}\right)^h \cdot \frac{1}{9} \cdot \left(\frac{8}{9}\right)^{2-h}
[/math]

Procediamo esplicitando i termini della sommatoria:

[math] P(Z = 3) = (\frac{1}{2})^1 \cdot \frac{1}{9} \cdot (\frac{8}{9})^{2-1} + (\frac{1}{2})^2 \cdot \frac{1}{9} \cdot (\frac{8}{9})^{2-2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{8}{9} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{9} = [/math]

[math] 4/(81) + 1/(36) = 0,04938 + 0,02778 = 0,077 [/math]

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