Si sa che le aule destinate agli studenti del primo anno del corso di laurea in Giurisprudenza di una certa università hanno una capienza di 150 posti. Considerato che, dall’esperienza passata, solo il 30% degli studenti iscritti segue le lezioni, l’ateneo adotta la politica di accettare le iscrizioni di 450 studenti. Calcolare la probabilità che una di quelle aule risulti insufficiente a contenere gli studenti frequentanti il I anno

Possiamo risolvere il problema introducendo una successione di variabili aleatorie ${X_n}$ con n = 1, …, 450, tale che ${X_i}$ assume il valore 1 se l’i-esimo studente iscritto frequenta i corsi universitari, e assume il valore 0 altrimenti. Sappiamo, quindi, che le variabili aleatorie ${X_i}$ sono indipendenti e seguono una legge di Bernoulli di parametro p = 0,3 (in quanto i dati del problema affermano che il 30% degli iscritti segue le lezioni).

Il numero degli studenti che frequentano le lezioni può essere calcolato semplicemente sommando le variabili aleatorie ${X_i}$; indichiamo con X tale somma. Sappiamo che tale somma è anch’essa una variabile aleatoria, e in particolar che essa segue una legge Binomiale di parametri p = 0,3 e n = 450 (numero degli studenti).

Applicando le formule note possiamo calcolare media e varianza di X:

$E[X] = np = 450 * 0,3 = 135 $

$Var[X] = np(1-p) = 450 * 0,3 * 0,7 = 94,5 $

Per determinare la probabilità richiesta dal problema possiamo utilizzare l’approssimazione normale: se ad X sottraiamo la sua media e dividiamo per la sua deviazione standard otteniamo una variabile aleatoria che si comporta approssimativamente come una normale standard.

Per calcolare la probabilità che una delle aule risulti insufficiente a contenere gli studenti, considerando che la capienza delle aule è di 150 posti, dobbiamo trovare la probabilità che il numero degli studenti sia maggiore di 150:

$P(X ≥ 151) = P(X > 150,5) = 1 – P(X ≤ 150,5) = $

$1 – P( frac(X – E[X])(sqrt(Var(X))) ≤ frac(150,5 – E[X]) (sqrt(Var(X))) ) = $

$ 1 – Φ( frac(150,5 – E[X])(sqrt(Var(X))) ) = 1 – Φ( frac(150,5 – 135)(sqrt(94,5) )) = 1 – Φ(1,59) $

Il valore della funzione di distribuzione della normale standard può essere ricavato dalle tavole della distribuzione normale standard; si ottiene:

$P(X ≥ 151) = 1 – Φ(1,59) = 1 – 0,9441 = 0,0559 $

Commenti

commenti