Possiamo risolvere il problema introducendo una successione di variabili aleatorie
[math]{X_n}[/math]
con n = 1, , 450, tale che
[math]{X_i}[/math]
assume il valore 1 se li-esimo studente iscritto frequenta i corsi universitari, e assume il valore 0 altrimenti. Sappiamo, quindi, che le variabili aleatorie
[math]{X_i}[/math]
sono indipendenti e seguono una legge di Bernoulli di parametro p = 0,3 (in quanto i dati del problema a?ermano che il 30% degli iscritti segue le lezioni).
Il numero degli studenti che frequentano le lezioni pu essere calcolato semplicemente sommando le variabili aleatorie
[math]{X_i}[/math]
; indichiamo con X tale somma.
Sappiamo che tale somma anch'essa una variabile aleatoria, e in particolar che essa segue una legge Binomiale di parametri p = 0,3 e n = 450 (numero degli studenti).
Applicando le formule note possiamo calcolare media e varianza di X:
[math]E[X] = np = 450 \cdot 0,3 = 135 [/math]
[math]Var[X] = np(1-p) = 450 \cdot 0,3 \cdot 0,7 = 94,5 [/math]
Per determinare la probabilit richiesta dal problema possiamo utilizzare lapprossimazione normale: se ad X sottraiamo la sua media e dividiamo per la sua deviazione standard otteniamo una variabile aleatoria che si comporta approssimativamente come una normale standard.
Per calcolare la probabilit che una delle aule risulti insu?ciente a contenere gli studenti, considerando che la capienza delle aule di 150 posti, dobbiamo trovare la probabilit che il numero degli studenti sia maggiore di 150:
[math]P(X ? 151) = P(X > 150,5) = 1 - P(X ? 150,5) = [/math]
[math]1 - P( frac(X - E[X])(\sqrt{Var(X)}) ? frac(150,5 - E[X]) (\sqrt{Var(X)}) ) = [/math]
[math] 1 - ?( frac(150,5 - E[X])(\sqrt{Var(X)}) ) = 1 - ?( frac(150,5 - 135)(\sqrt(94,5) )) = 1 - ?(1,59) [/math]
Il valore della funzione di distribuzione della normale standard pu essere ricavato dalle tavole della distribuzione normale standard; si ottiene:
[math]P(X ? 151) = 1 - ?(1,59) = 1 - 0,9441 = 0,0559 [/math]
