Per prima cosa, calcoliamo la densità discreta di X; sappiamo che la densità discreta una funzione che assegna ad ogni valore di X la probabilità che tale valore venga assunto. In questo caso, si ha che
[math] x = x^3 [/math]
con probabilità 1, ovvero la variabile x può assumere solo uno dei seguenti valori: -1, 0, 1. Il problema fornisce già le probabilità che la variabile assuma i valori -1 e 1, dobbiamo quindi calcolare la probabilità che il valore assunto sia 0.
Possiamo procedere ricordando che, se A l'evento la variabile X assume valore 0, allora abbiamo:
[math]P(A) = 1 - P(A^c)[/math]
dove
[math]A^c[/math]
è l'evento la variabile X assume il valore -1 o il valore 1. Abbiamo quindi:
[math] P(X=0) = 1 - P(A^c) = 1 - [P(X=1) + P(X=-1)] = 1 - p - p = 1 - 2p [/math]
Per determinare la legge della variabile aleatoria
[math]Z = X + Y[/math]
, ovvero la probabilità
[math]P(Z=k)[/math]
, possiamo procedere applicando la formula di convoluzione, per la quale si ha:
[math] P(Z=k) = P(X+Y = k) [/math]
[math] = \sum_{n=-1}^1 P(X=n, Y=k-n) [/math]
Notiamo che i valori assunti da n sono i valori che può assumere la variabile X; poiché la variabile Y può assumere solo i valori -1 e 1, abbiamo i seguenti valori possibili per la variabile k: 0, 1, -1, 2, -2.
Inoltre, poiché le variabili X e Y sono indipendenti, possiamo scrivere la formula precedente in questo modo, che risulterà più semplice per i calcoli:
[math] P(Z=k) = P(X+Y = k) = \sum_{n=-1}^1 P(X=n) \cdot P(Y=k-n) [/math]
Procediamo calcolando per ogni possibile valore di k la probabilità che esso possa essere assunto dalla variabile aleatoria Z:
[math] k = 0[/math]
: Tale caso si verifica quando o entrambi X e Y sono 0, o quando una delle due è uguale a 1 e l'altra uguale a -1; la probabilità sarà quindi data dalla somma di tutti gli eventi
possibili:
[math] P(Z=0) = P(X=0)P(Y=0) + P(X=1)P(Y=-1) + P(X=-1)P(Y=1) = [/math]
[math] (1-2p) \cdot 0 + p \cdot (1-q) + p \cdot q = p - pq + pq = p [/math]
[math] k = 1[/math]
: Applichiamo la formula di convoluzione per tutti i valori di n; la probabilità sarà data dalla somma di tutti gli eventi possibili:
[math] P(Z=1) = P(X=-1)P(Y=2) + P(X=0)P(Y=1) + P(X=1)P(Y=0) = [/math]
[math] p \cdot 0 + (1-2p) \cdot (1-q) + p \cdot 0 = (1-2p) \cdot (1-q) = 1- q - 2p + 2pq [/math]
[math] k = -1[/math]
: Come in precedenza, applichiamo la formula di convoluzione per tutti i valori di n possibili:
[math] P(Z=-1) = P(X=-1)P(Y=0) + P(X=0)P(Y=-1) + P(X=1)P(Y=-2) = [/math]
[math] p \cdot 0 + (1-2p) \cdot q + p \cdot 0 = (1-2p) \cdot q = q + 2pq [/math]
[math] k = 2[/math]
: Come in precedenza, applichiamo la formula di convoluzione per tutti i valori di n possibili:
[math] P(Z=2) = P(X=-1)P(Y=3) + P(X=0)P(Y=2) + P(X=1)P(Y=1) = [/math]
[math] p \cdot 0 + (1-2p) \cdot 0 + p \cdot (1-q) = p - pq[/math]
[math] k = -2[/math]
: Come in precedenza, applichiamo la formula di convoluzione per tutti i valori di n possibili:
[math] P(Z=-2) = P(X=-1)P(Y=-1) + P(X=0)P(Y=-2) + P(X=1)P(Y=-3) = [/math]
[math] p \cdot q + (1-2p) \cdot 0 + p \cdot 0 = pq[/math]
Per verificare che i risultati ottenuti sono corretti, possiamo sommare tutte le probabilità ottenute e verificare che il risultato sia pari a 1:
[math] P(Z = 0) + P(Z = 1) + P(Z = -1) + P(Z = 2) + P(Z = -2) = [/math]
[math] = p + (1- q - 2p + 2pq) + (q + 2pq) + (p - pq) + pq = 1 [/math]
