1) Sappiamo che per delle variabili aleatorie di legge esponenziale vi sono delle formule note per la media e la varianza; in particolare si ha:
[math]E[X_i] = \frac{1}{\lambda}[/math]
[math]Var[X_i] = \frac{1}{\lambda^2}[/math]
Quindi, sapendo che tali variabili aleatorie hanno varianza 9, possiamo determinare facilmente il valore di
[math] \lambda [/math]
:
[math]Var[X_i] = \frac{1}{\lambda^2} = 9 \quad \text{o} \quad \lambda = \frac{1}{3}[/math]
Possiamo calcolare la media e la varianza della somma campionaria e della media campionaria:
[math]E[S_n] = E[X_1 + X_2 + \ldots + X_n] = [/math]
[math]E[X_1] + E[X_2] + \ldots + E[X_n] = n \cdot \frac{1}{\lambda}[/math]
[math]Var[S_n] = Var[X_1 + X_2 + \ldots + X_n] = [/math]
[math]Var[X_1] + Var[X_2] + \ldots + Var[X_n] = n \cdot \frac{1}{\lambda^2}[/math]
Sostituendo i valori per n = 150 otteniamo:
[math]E[S_{150}] = 150 \cdot 3 = 450[/math]
[math]Var[S_{150}] = 150 \cdot 9 = 1350[/math]
Allo stesso modo possiamo calcolare la media e la varianza per la media campionaria:
[math]E[\bar{S}_n] = \frac{1}{n} E[X_1 + X_2 + \ldots + X_n] = \frac{1}{\lambda}[/math]
[math]Var[\bar{S}_n] = \frac{1}{n^2} Var[X_1 + X_2 + \ldots + X_n] = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{\lambda^2}[/math]
Sostituendo i valori numerici otteniamo:
[math]E[\bar{S}_{150}] = \frac{1}{\lambda} = 3[/math]
[math]Var[\bar{S}_{150}] = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{\lambda^2} = \frac{9}{150}[/math]
Possiamo procedere al calcolo della probabilità richiesta utilizzando la disuguaglianza di Chebyshev; dobbiamo valutare la seguente espressione:
[math]P(|\bar{S}_{150} - 3| > \frac{\sqrt{6}}{10})[/math]
Sappiamo in generale che vale per una generica variabile aleatoria X:
[math] P(|X - E[X]| > \epsilon) \leq \frac{Var(X)}{\epsilon^2}[/math]
In questo caso, abbiamo:
[math]X = \bar{S}_{150}[/math]
[math]E[X] = E[\bar{S}_{150}] = 3[/math]
[math]\epsilon = \frac{\sqrt{6}}{10}[/math]
Quindi, poiché conosciamo la varianza di
[math]\bar{S}_n[/math]
, possiamo stimare che la probabilità richiesta è minore della seguente quantità:
[math]\frac{Var(\bar{S}_{150})}{\epsilon^2} = \frac{\frac{9}{150}}{\frac{6}{100}} = 1[/math]
2) Stimiamo la stessa quantità del punto precedente utilizzando l'approssimazione normale;
sappiamo che la quantità
[math]\frac{S_n - E[S_n]}{\sqrt{Var(S_n)}}[/math]
si comporta come una normale standard per n grande.
Consideriamo quindi una variabile W che può essere approssimata con una normale standard. Possiamo procedere nel modo seguente:
[math]P(|\bar{S}{150} - 3| > \frac{\sqrt{6}}{10}) = P(\frac{|\bar{S}{150} - 3|}{\sqrt{Var(\bar{S}{150})}} > \frac{\sqrt{6}}{10} \cdot \frac{1}{\sqrt{Var(\bar{S}{150})}}) = [/math]
[math]P(|W| > \frac{\sqrt{6}}{10} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{9}{150}}}) = P(|W| > \frac{\sqrt{6}}{10} \cdot \frac{5\sqrt{6}}{3}) = [/math]
[math]P(|W| > 1) = 1 - P(|W| \leq 1) = 1 - P(-1 \leq W \leq 1) = [/math]
[math]1 - [\Phi(1) - \Phi(-1)] = 1 - [2\Phi(1) - 1] = 1 - 2\Phi(1) + 1 = 2 - 2\Phi(1)[/math]
Dalle tabelle della normale standard si ricava:
[math]2 - 2\Phi(1) = 2 - 2 \cdot 0.8413 = 0.3174[/math]
