Siano $X_1, …, X_n$ variabili aleatorie e con la stessa distribuzione, e sia $bar X_n = 1/n (X_1 + … + X_n)$. Inoltre, siano μ=2 e $σ^2 = 4$ media e varianza delle variabili aleatorie in questione. i) Scrivere la disuguaglianza di Chebyshev per $P(|X_1 – 2| ≥ 5)$. ii) Scrivere la disuguaglianza di Chebyshev per $P(|bar x_(10) – 2| ≥ 5)$. iii) Calcolare $P(bar X_(100) < 2,3)$ con l’approssimazione normale

i) Sappiamo che la forma generale della disuguaglianza di Chebyshev per una variabile aleatoria X con media E[X] e varianza Var(X) è la seguente:

$P(|X – E[X] ≥ η|) ≤ frac(Var(X))(η^2) $

Nel nostro caso, poiché la media di $X_i$ è 2, e conosciamo anche la sua varianza, possiamo applicare la formula precedente, considerando η = 5:

$P(|X_1 – 2| ≥ 5) ≤ frac(Var(X_1))(η^2) = frac(4)(5^2) = frac(4)(25) $

ii) Nel secondo caso possiamo proseguire come in precedenza; questa volta, però, dobbiamo calcolare la media e la varianza di $bar x_(10)$ :

$E[bar x_(10)] = E[1/n (X_1 + … + X_(10))] = 1/n E[X_1 + … + X_(10)] = $

$1/n (E[X_1] + … + E[X_(10)]) = 1/n * (n * E[X_i]) = E[X_i] = 2$

$Var[bar x_(10)] = Var[1/n (X_1 + … + X_(10))] = $

$1/n^2 Var[X_1 + … + X_(10)] = $

$1/n^2 (Var[X_1] + … + Var[X_(10)]) = 1/n^2 * (n * Var[X_i]) = 1/n Var[X_i] = 4/(10)$

Procediamo sostituendo tali valori nell’espressione generale:

$P(|bar x_(10) – 2| ≥ 5) ≤ frac(Var(bar x_(10)))(η^2) = frac(4/(10))(25) = frac(2)(125)$

iii) Ricordiamo che uno dei risultati derivanti dal teorema del limite centrale è il fatto che la quantità $frac(bar X_n – μ)(σ/sqrt(n))$ si comporta come una normale standard per n molto grande. Quindi possiamo utilizzare questo risultato per approssimare la probabilità richiesta dal problema:

$P(bar X_(100) < 2,3) = P(frac(bar X_n – μ)(σ/sqrt(n)) < frac(2,3 – μ)(σ/sqrt(n))) $

Se chiamiamo con W una variabile aleatoria che si comporta come una normale standard otteniamo:

$P(bar X_(100) < 2,3) = P( W < frac(2,3 – μ)(σ/sqrt(n))) $

Il problema fornisce tutti i dati necessari; sostituiamo i valori numerici:

$ P(bar X_(100) < 2,3) = P( W < frac(2,3 – 2)(2/sqrt(100))) = P( W < frac(0,3)(2/(10)) ) =$

$ P( W < frac(3)(2) ) = P( W < 1,5 ) $

Introduciamo la funzione Φ, ovvero la funzione di distribuzione della normale standard:

$ P( W < 1,5 ) = Φ(1,5) $

Dalle tabelle della normale standard possiamo ricavare i valori numerici di Φ:

$ Φ(1,5) = 0,93319 $

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