Siano $X_1, … , X_n$ variabili aleatorie e con la stessa distribuzione, e sia $bar x_n = 1/n (X_1 + … + X_n)$ la media campionaria. Inoltre, siano μ e $σ^2 = 16$ media e varianza delle variabili aleatorie in questione. i) Supponendo che μ sia incognita, calcolare l’intervallo di confidenza per μ al livello 1 – α = 0,90 nel caso in cui $bar x_n = 80$ e n = 100. ii) Supponiamo che le variabili aleatorie $X_1, … , X_n$ siano normali e che μ=2. Calcolare $P(X_1 < 3)$

i) Un intervallo di confidenza per la media della distribuzione è della forma seguente:

$ I = [bar x_n – frac(σ)(sqrt(n)) ϕ_(1-α/2) , bar x_n – frac(σ)(sqrt(n)) ϕ_(1-α/2) ] $

dove $σ$ è la deviazione standard del campione, $ϕ_(1-α/2) $ è il quantile di ordine $1-α/2$ della distribuzione normale standard e $bar x_n$ è la media campionaria.

Analizziamo i dati che fornisce il problema:

$n = 100$
$bar x_n = 80$

$σ^2 = 16 to σ = 4 $

$1-α = 0,90 to 1-α/2 = 0,95$

Dalla tavola dei valori della distribuzione normale standard possiamo trovare che il quantile di ordine $1-α/2$ è 1,65. Avendo a disposizione tutti i dati necessari, possiamo determinare l’intervallo di confidenza richiesto:

$ I = [ 80 – frac(4)(sqrt(100)) * 1,65 ; 80 + frac(4)(sqrt(100)) * 1,65 ] = [ 80 – frac(4)(10) * 1,65 ; 80 + frac(4)(10) * 1,65 ] = $

$ [ 80 – 0,66 ; 80 + 0,66 ] = [79,34 ; 80,66]$

ii) Considerando che la variabile $X_1$ è normale standard, possiamo sfruttare l’approssimazione normale per calcolare la probabilità richiesta:

$ P( X_1 < 3) $

possiamo procedere nel modo seguente:

$ P( X_1 < 3) = P( frac(X_1 – E[X_1])(σ) < frac(3 – E[X_1])(σ) ) $

Se indichiamo con W una variabile aleatoria che si comporta come una normale standard abbiamo:

$ P( X_1 < 3) = P( W < frac(3 – E[X_1])(σ) ) $

Dai dati del problema sappiamo che:

$ E[X_1] = μ=2 $

$ σ = 4 $

Quindi possiamo procedere sostituendo i valori numerici:

$ P( X_1 < 3) = P( W < frac(3 – 2)(4) ) = P( W < frac(1)(4) ) = P( W < 0,25 ) $

Introduciamo la funzione Φ, ovvero la funzione di distribuzione della normale standard:

$ P( W < 0,25 ) = Φ(0,25) $

Dalle tabelle della normale standard possiamo ricavare i valori numerici di Φ:

$ Φ(0,25) = 0,59871 $

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