Su 144 campi adibiti alla coltivazione di barbabietole si sperimenta un nuovo fertilizzante e si osserva un aumento medio di produzione di 14 kg. Sia X la variabile aleatoria che indica l’aumento di produzione su un singolo campo. i) Supponiamo che la variabile aleatoria X abbia media incognita e varianza nota: $sigma^2 = 121$. Calcolare un intervallo di confidenza al livello $1 – alpha = 0,95$ per la media $mu$. ii) Supponiamo che la variabile X abbia una distribuzione normale di media $mu = 14$ e varianza $sigma^2 = 121$. Calcolare la probabilità che l’aumento della produzione sia maggiore di 20 kg

i) Indichiamo con $X_i$ la variabile aleatoria che indica l’aumento di produzione prodotto dal campo i-esimo; sappiamo che il valore osservato della media campionaria è $bar x_(144) = 14$.

Dato che la media del campione non è conosciuta, è noto che un intervallo di confidenza per la media della distribuzione è della forma seguente:

$ I = [bar x_n – frac(σ)(sqrt(n)) ϕ_(1-α/2) , bar x_n – frac(σ)(sqrt(n)) ϕ_(1-α/2) ] $

dove $σ$ è la deviazione standard del campione, $ϕ_(1-α/2) $ è il quantile di ordine $1-α/2$ della distribuzione normale standard e $bar x_n$ è la media campionaria.

Analizziamo i dati che fornisce il problema:

$n = 144$

$bar x_(144) = 14$

$σ^2 = 121 to σ = 11 $

$1-α = 0,95 to 1-α/2 = 0,975$

Dalla tavola dei valori della distribuzione normale standard possiamo trovare che il quantile di ordine $1-α/2$ è 1,96. Avendo a disposizione tutti i dati necessari, possiamo determinare l’intervallo di confidenza richiesto:

$ I = [ 14 – frac(11)(sqrt(144)) * 1,96 , 14 – frac(11)(sqrt(144)) * 1,96 ] = $

$ [ 14 – frac(11)(12) * 1,96 , 14 – frac(11)(12) * 1,96 ] = [12,203 ; 15,797] $

ii) La probabilità richiesta dal problema è la seguente: $P(X > 20)$; per stimare tale probabilità possiamo utilizzare l’approssimazione standard. Utilizziamo una variabile W che si comporta come una normale standard.

Possiamo procedere nel modo seguente:

$P(X > 20) = P(frac(X – E[X])(sqrt(Var(X))) > frac(20 – E[X])(sqrt(Var(X))) ) = P( W > frac(20 – E[X])
(sqrt(Var(X))) ) $

Sostituiamo i valori numerici:

$ P( W > frac(20 – 14)(sqrt(121)) ) = P( W > frac(6)(11) ) $

Introducendo la funzione Φ, ovvero la funzione di distribuzione della normale standard, abbiamo:

$ P( W > frac(6)(11) ) = 1 – P( W < frac(6)(11) ) = 1 – Φ(frac(6)(11)) $

Dalle tabelle della normale standard si ricava:

$1 – Φ(frac(6)(11)) = 1 – Φ(0,54) = 1 – 0,7054 = 0,2946 $

 

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