i) Indichiamo con
[math]X_i[/math]
la variabile aleatoria che indica l'aumento di produzione prodotto dal campo i-esimo; sappiamo che il valore osservato della media campionaria [math]ar x_(144) = 14[/math]
.Dato che la media del campione non conosciuta, noto che un intervallo di confidenza per la media della distribuzione della forma seguente:
[math] I = [ar x_n - frac(?)(\sqrt{n}) ?_(1-?/2) , ar x_n - frac(?)(\sqrt{n}) ?_(1-?/2) ] [/math]
dove
[math]?[/math]
la deviazione standard del campione, [math]?_(1-?/2) [/math]
il quantile di ordine [math]1-?/2[/math]
della distribuzione normale standard e [math]ar x_n[/math]
la media campionaria.Analizziamo i dati che fornisce il problema:
[math]n = 144[/math]
[math]ar x_(144) = 14[/math]
[math]?^2 = 121 o ? = 11 [/math]
[math]1-? = 0,95 o 1-?/2 = 0,975[/math]
Dalla tavola dei valori della distribuzione normale standard possiamo trovare che il quantile di ordine
[math]1-?/2[/math]
1,96. Avendo a disposizione tutti i dati necessari, possiamo determinare l'intervallo di confidenza richiesto:
[math] I = [ 14 - frac(11)(\sqrt{144}) \cdot 1,96 , 14 - frac(11)(\sqrt{144}) \cdot 1,96 ] = [/math]
[math] [ 14 - frac(11)(12) \cdot 1,96 , 14 - frac(11)(12) \cdot 1,96 ] = [12,203 ; 15,797] [/math]
ii) La probabilit richiesta dal problema la seguente:
[math]P(X > 20)[/math]
; per stimare tale probabilit possiamo utilizzare l'approssimazione standard. Utilizziamo una variabile W che si comporta come una normale standard.Possiamo procedere nel modo seguente:
$P(X > 20) = P(frac(X - E[X])(sqrt(Var(X))) > frac(20 - E[X])(sqrt(Var(X))) ) = P( W > frac(20 - E[X])
(sqrt(Var(X))) ) $
Sostituiamo i valori numerici:
[math] P( W > frac(20 - 14)(\sqrt{121}) ) = P( W > frac(6)(11) ) [/math]
Introducendo la funzione ?, ovvero la funzione di distribuzione della normale standard, abbiamo:
[math] P( W > frac(6)(11) ) = 1 - P( W
Dalle tabelle della normale standard si ricava:
[math]1 - ?(frac(6)(11)) = 1 - ?(0,54) = 1 - 0,7054 = 0,2946 [/math]
