Supponiamo che con probabilità 0,09 una persona abbia bisogno di assistenza ospedaliera nel corso di un anno. Se una società assicuratrice ha in atto 60000 polizze di assicurazione sanitaria, stimare: i) la probabilità che 500 indennizzi vengano liquidati in un anno; ii) la probabilità che vengano liquidati almeno 300 indennizzi in un anno

Utilizziamo una variabile aleatoria X che indica il numero di persone che necessitano di assistenza ospedaliera in un anno; allora X ha una legge binomiale di parametri n = 60000 (numero di polizze) e p = 0,09 (probabilità che una persona abbia bisogno di assistenza).

Sapendo che X è binomie, possiamo determinare facilmente la media e la varianza:

$ E[X] = np = 60000 * 0,09 = 5400$

$ Var(X) = np(1-p) = 60000 * 0,09 * (1-0,09) = 4914$

i) La probabilità richiesta consiste nel calcolare il valore P(X = 500); tale operazione potrebbe essere svolta semplicemente applicando le formule della legge binomiale, ma a causa della grandezza dei numeri, tale operazione sarebbe particolarmente complessa. Per questo, possiamo esprimere tale probabilità in maniera alternativa e calcolarla con l’ausilio della statistica e del teorema del limite centrale.

Si ha che:

$ P(X = 500) = P(499,5 < X < 500,5) $

Ricordiamo che per l’approssimazione normale, se a X togliamo la sua media, e dividiamo tutto per la sua deviazione standard, otteniamo una variabile aleatoria che, per n molto grande, si comporta come una normale standard.

Quindi possiamo procedere nel seguente modo:

$ P(499,5 < X < 500,5) = $

$P( frac(499,5 – E[X] )( Var(X) ) < frac(X – E[X])(Var(X)) < frac(500,5 – E[X]) (Var(X))) $

Indichiamo con W la normale standard in questione, e sostituiamo i valori numerici di media e varianza:

\( P\Big( \frac{499{,}5 – 5400}{\sqrt{4914}} \lt W \lt \frac{500{,}5 – 5400}{\sqrt{4914}}\Big) = \)

\( P\Big(\frac{-4900{,}5}{70{,}1} \lt W \lt \frac{-4899{,}5}{70,1}\Big) = \)

$ P( -69,91 < W < -69,89) $

Se indichiamo con Φ la funzione di distribuzione della normale standard, possiamo scrivere:

$ P( -69,91 < W < -69,89) = P(W < -69,89) – P( W < -69,91 ) = Φ(-69,89) – Φ(-69,91 ) = $

$-Φ(69,89) + Φ(69,91) = Φ(69,91) – Φ(69,89) $

Dai valori ricavati dalla tabella della normale standard possiamo concludere che la probabilità è molto piccola, tendente a zero. Quindi è assai improbabile che 500 indennizzi vengano liquidati in un anno. ii) Per la seconda parte possiamo seguire un procedimento analogo al precedente, considerando il fatto che si vuole che almeno 300 indennizzi vengano liquidati in un anno; quindi, in questo caso la probabilità da determinare è la seguente: P( X ≥ 300).

Procediamo come in precedenza:

$ P( X ≥ 300) = P( X > 299,5) = 1 – P(X ≤ 299,5) =  $

$1 – P(W ≤ frac(299,5 – 5400 )( sqrt(4914) )) = $

$ 1 – P(W ≤ frac(299,5 – 5400 )( 70,1) ) = $

$ 1 – P(W ≤ frac( – 5100,5 )( 70,1) ) = 1 – P(W ≤ -72,6) = 1 – Φ(-72,6) ~ 1 $

 

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