Supponiamo che il numero di incidenti stradali che avvengono giornalmente in una certa città sia una variabile aleatoria di Poisson di media 1. i) Qual è la probabilità che si verifichino più di 20 indicenti in due settimane? ii) Ipotizzando sempre una distribuzione di Poisson, quale dovrebbe essere la media del numero di incidenti giornalieri affinché con una probabilità maggiore (≥) del 95% si abbiano meno di 13 incidenti in 20 giorni?

i) Per rappresentare il nostro problema possiamo utilizzare delle variabili aleatorie $X_i$ tale che la variabile i-esima indica il numero di incidenti avvenuto nel giorni i-esimo. Sappiamo dai dati forniti dal problema che tali variabili aleatorie sono di Poisson di parametro 1.

Se indichiamo con $S_n$ la somma $X_1 + … + X_n$, la probabilità da calcolare è la seguente:

$P( X_1 + … + X_n > 20) = P(S_n > 20) $

per n = 14.

Possiamo utilizzare l’approssimazione normale per stimare tale probabilità;

Ricordiamo che la quantità $frac(S_n – nμ)(σ*sqrt(n))$ si comporta come una normale standard per n molto grande (con $S_n$ abbiamo indicato la somma campionaria). Quindi possiamo utilizzare questo risultato per approssimare la probabilità richiesta dal problema:

$P(X_1 + … + X_(14) > 20) = P( S_(14) > 20) = P( frac(S_(14) – nμ)(σ*sqrt(n)) > frac(20 – nμ) (σ*sqrt(n))) $

Se chiamiamo con W una variabile aleatoria che si comporta come una normale standard otteniamo:

$ P( W > frac(20 – nμ)(σ*sqrt(n)) ) $

Sapendo che per una variabile di Poisson di parametro 1, la media e la varianza valgono 1, possiamo procedere sostituendo i valori numerici forniti dal problema:

$ P( W > frac(20 – nμ)(σ*sqrt(n)) ) = P( W > frac(20 – 14 * 1)(sqrt(1)*sqrt(14)) ) = $

$ P( W > frac(6)(3,74) ) = P( W > 1,604 ) = 1 – P(W ≤ 1,604 )$

Introduciamo la funzione Φ, ovvero la funzione di distribuzione della normale standard:

$ 1 – P(W ≤ 1,604 ) = 1 – Φ( 1,604 ) $

Dalla tavola della normale standard possiamo ricavare i valori numerici:

$ 1 – Φ( 1,604 ) = 0,0548 $

ii) Supponiamo ora che il parametro λ della distribuzione di Poisson sia incognito (quindi la media e la varianza sono incognite); possiamo procedere come in precedenza applicando le regole dell’approssimazione normale:

$P(X_1 + … + X_(20) < 13) = P( S_(20) < 13) = P( frac(S_(20) – nμ)(σ*sqrt(n)) < frac(13 – nμ) (σ*sqrt(n))) = P( W < frac(13 – nμ)(σ*sqrt(n))) $

Sostituiamo i valori numerici noti:

$ P( W < frac(13 – 20 λ)(sqrt(λ)*sqrt(20)) ) $

Introduciamo come in precedenza la funzione Φ:

$ P( W < frac(13 – 20 λ)(sqrt(λ)*sqrt(20)) ) = Φ( frac(13 – 20 λ)(sqrt(λ)*sqrt(20)) ) $

Affinché tale quantità sia maggiore o uguale di 0,95, ovvero:

$ Φ( frac(13 – 20 λ)(sqrt(λ)*sqrt(20)) ) ≥ 0,95 $

Osserviamo le tabelle della normale standard per ricavare i valori numerici inversi di Φ; troviamo che 0,95 è circa Φ(1,65). Ciò significa che per rendere vera la disuguaglianza deve essere:

$ frac(13 – 20 λ)(sqrt(λ)*sqrt(20)) ≥ 1,65$

Risolviamo la disequazione e troviamo il valore di n:

$ 13 – 20 λ ≥ 1,65(sqrt(λ)*sqrt(20))$

$ 13 – 20 λ ≥ 7,38 sqrt(λ)$

$ 20 λ – 7,38 sqrt(λ) – 13 ≤ 0$

Risolviamo ponendo $x = sqrt(λ)$, e analizziamo l’equazione associata:

$ 20 x^2 – 7,38 x – 13 = 0$

Si ottiene solo un valore positivo per x: x = 0,642

Da cui si ottiene:

$ λ ≤ 0,642^2 = 0,41 $

Potrebbe interessarti

 

Commenti

commenti