1) Per rappresentare il nostro problema possiamo utilizzare delle variabili aleatorie
[math]X_i[/math]
tale che la variabile i-esima indica il numero di incidenti avvenuto nel giorno i-esimo. Sappiamo dai dati forniti dal problema che tali variabili aleatorie sono di Poisson di parametro 1.
Se indichiamo con
[math]S_n[/math]
la somma
[math]X_1 + X_2 + \ldots + X_n[/math]
, la probabilità da calcolare è la seguente:
[math]P(X_1 + X_2 + \ldots + X_n > 20) = P(S_n > 20)[/math]
per n = 14.
Possiamo utilizzare l'approssimazione normale per stimare tale probabilità.
Ricordiamo che la quantità
[math]\frac{{S_n - n\mu}}{{\sigma \sqrt{n}}}[/math]
si comporta come una normale standard per n molto grande (con
[math]S_n[/math]
abbiamo indicato la somma campionaria).
Quindi possiamo utilizzare questo risultato per approssimare la probabilità richiesta dal problema:
[math]P(X_1 + X_2 + \ldots + X_{14} > 20) = P(S_{14} > 20) = P\left(\frac{{S_{14} - n\mu}}{{\sigma \sqrt{n}}} > \frac{{20 - n\mu}}{{\sigma \sqrt{n}}}\right)[/math]
Se chiamiamo con W una variabile aleatoria che si comporta come una normale standard, otteniamo:
[math]P\left(W > \frac{{20 - n\mu}}{{\sigma \sqrt{n}}}\right)[/math]
Sapendo che per una variabile di Poisson di parametro 1, la media e la varianza valgono 1, possiamo procedere sostituendo i valori numerici forniti dal problema:
[math]P\left(W > \frac{{20 - 14 \cdot 1}}{{\sqrt{1} \cdot \sqrt{14}}}\right) = P\left(W > \frac{6}{3.74}\right) = P\left(W > 1.604\right) = 1 - P(W \leq 1.604)[/math]
Introduciamo la funzione
[math] \Phi [/math]
, ovvero la funzione di distribuzione della normale standard:
[math]1 - P(W \leq 1.604) = 1 - \Phi(1.604)[/math]
Dalla tavola della normale standard possiamo ricavare i valori numerici:
[math]1 - \Phi(1.604) = 0.0548[/math]
2) Supponiamo ora che il parametro μ della distribuzione di Poisson sia incognito (quindi la media e la varianza sono incognite); possiamo procedere come in precedenza applicando le regole dell'approssimazione normale:
[math]P(X_1 + X_2 + \ldots + X_{20}
[math] = P(S_{20}
[math] = P\left(\frac{{S_{20} - n\mu}}{{\sigma \sqrt{n}}}
[math] = P\left(W
Sostituiamo i valori numerici noti:
[math]P\left(W
Introduciamo come in precedenza la funzione
[math] \Phi [/math]
:
[math]P\left(W
Affinché tale quantità sia maggiore o uguale a 0.95, ovvero:
[math]\Phi\left(\frac{{13 - 20\mu}}{{\sqrt{\mu} \cdot \sqrt{20}}}\right) \geq 0.95[/math]
Osserviamo le tabelle della normale standard per ricavare i valori numerici inversi di
[math] \Phi [/math]
; troviamo che
[math] \Phi(1.65) [/math]
è circa 0.95. Ciò significa che per rendere vera la disuguaglianza deve essere:
[math]\frac{{13 - 20\mu}}{{\sqrt{\mu} \cdot \sqrt{20}}} \geq 1.65[/math]
Risolviamo la disequazione e troviamo il valore di μ:
[math]13 - 20\mu \geq 1.65 \cdot \sqrt{\mu} \cdot \sqrt{20}[/math]
[math]20\mu - 7.38\sqrt{\mu} - 13 \leq 0[/math]
Risolviamo ponendo
[math]x = \sqrt{\mu}[/math]
e analizziamo l'equazione associata:
[math]20x^2 - 7.38x - 13 = 0[/math]
Si ottiene solo un valore positivo per x: x = 0.642
Da cui si ottiene:
[math]\mu = 0.642^2 = 0.41[/math]
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