Supponiamo che il peso corporeo (misurato in kg) di una popolazione di operai edili si distribuisca secondo una variabile aleatoria di media m = 77 e deviazione standard $sigma = 9,4$. i) Se la numerosità del campione considerato è n = 36, quanto vale la probabilità che la media campionaria dei loro pesi sia compresa tra 75 e 79? ii) E se il campione ha numerosità 144?

i) Utilizziamo delle variabili aleatorie $X_i$ per indicare il peso degli operai; l’indice i corrisponde al peso dell’operaio i-esimo. Tali variabili aleatorie sono indipendenti e identicamente distribuite, ed hanno media m = 77 e deviazione standard σ = 9.4.

Per una successione di variabili aleatorie ${X_n}$, la media campionaria è:

$ bar X_n = frac(X_1 + … + X_n)(n)$

Utilizzando l’approssimazione standard, sappiamo che sottraendo a tale variabile la sua media, e dividendo per la deviazione standard, otteniamo una variabile aleatoria che si comporta approssimativamente come una normale standard.

Quindi, la probabilità che la media campionaria sia compresa tra due valori fissati è la seguente (indichiamo con $S_n$ la somma campionaria):

$ P(75 ≤ bar X_n ≤ 79) = P(75n ≤ S_n ≤ 79n) = P( frac(75n – n*E[X])( sqrt(Var(X)*n) ) ≤ frac(S_n – n*E[X])( sqrt(Var(X)*n) ) ≤ frac(79n – n*E[X])( sqrt(Var(X)*n) ) ) $

Indichiamo con W la variabile aleatoria approssimata con una normale:

$ P(75 ≤ bar X_n ≤ 79) = P( frac(75n – n*E[X])( sqrt(Var(X)*n) ) ≤ W ≤ frac(79n – n*E[X])( sqrt(Var(X)*n) ) ) = $

$ P( W ≤ frac(79n – n*E[X])( sqrt(Var(X)*n) ) ) – P( W ≤ frac(75n – n*E[X])( sqrt(Var(X)*n) ) ) = $

$ Φ( frac(79n – n*E[X])( sqrt(Var(X)*n) ) ) – Φ( frac(75n – n*E[X])( sqrt(Var(X)*n) ) )$

Nel primo caso, la numerosità del campione è n = 36; sostituiamo quindi i dati numerici:

$ Φ( frac(79*36 – 36*77)( 9,4 * sqrt(36) ) ) – Φ( frac(75*36 – 36*77)( 9,4 * sqrt(36) ) ) = $

$ Φ( frac(2844 – 2772)( 9,4 * 6 ) ) – Φ( frac(2700 – 2772)( 9,4 * 6 ) ) = $

$ Φ( frac( 72 )( 56,4 ) ) – Φ( frac(-72)( 56,4 ) ) = Φ( 1,27 ) – Φ( -1,27 ) $

Applicando le proprietà della funzione di distribuzione della normale standard si ottiene:

$ Φ( 1,27 ) – Φ( -1,27 ) = 2 Φ( 1,27 ) – 1$

Ricavando i valori numerici dalla tabella della normale standard di ottiene la probabilità richiesta:

$ 2 Φ( 1,27 ) – 1 = 2 * 0,8980 – 1 = 0,796 $

ii) Per il secondo punto possiamo ragionare in maniera analoga, considerando in questo caso un campione di grandezza maggiore (n = 144). Il procedimento da seguire è lo stesso:

$ P(75 ≤ bar X_n ≤ 79) = P(75n ≤ S_n ≤ 79n) = $

$P( frac(75n – n*E[X])( sqrt(Var(X)*n) )  <= frac(S_n – n*E[X])( sqrt(Var(X)*n) ) ≤ frac(79n – n*E[X])( sqrt(Var(X)*n) ) ) $

$ P( frac(75n – n*E[X])( sqrt(Var(X)*n) ) ≤ W ≤ frac(79n – n*E[X])( sqrt(Var(X)*n) ) ) = $

$ P( W ≤ frac(79n – n*E[X])( sqrt(Var(X)*n) ) ) – P( W ≤ frac(75n – n*E[X])( sqrt(Var(X)*n) ) ) = $

$ Φ( frac(79n – n*E[X])( sqrt(Var(X)*n) ) ) – Φ( frac(75n – n*E[X])( sqrt(Var(X)*n) ) )$

Sostituiamo i valori numerici considerando n = 144:

$ Φ( frac(79*144 – 144*77)( 9,4 * sqrt(144) ) ) – Φ( frac(75*144 – 144*77)( 9,4 * sqrt(144) ) ) = $

$ Φ( frac(11376 – 11088)( 9,4 * 12 ) ) – Φ( frac(10800 – 11088)( 9,4 * 12 ) ) = $

$ Φ( frac( 288 )( 112,8 ) ) – Φ( frac(-288)( 112,8 ) ) = Φ( 2,55 ) – Φ( -2,55 ) $

Applicando le proprietà della funzione di distribuzione della normale standard si ottiene:

$ Φ( 2,55 ) – Φ( -2,55 ) = 2 Φ( 2,55 ) – 1$

Ricavando i valori numerici dalla tabella della normale standard di ottiene la probabilità richiesta:

$ 2 Φ( 2,55 ) – 1 = 2 * 0,9946 – 1 = 0,9892 $

 

Commenti

commenti