Supponiamo che il tempo di vite di un certo modello di processore per computer sia una variabile aleatoria di media μ=10 e deviazione standard σ=5, dove l’unità di misura è 1 anno. Si provano n = 100 processori di questo tipo: siano $bar T_(100) = 1/(100) (T_1 + … + T_(100))$ la media campionaria dei tempi di vita osservati. Utilizzando il teorema del limite centrale, stimare approssimativamente: i) $P(bar T_(100) > 9,5)$; ii) $P(9,5 ≤ bar T_(100) ≤ 10,5)$

Ricordiamo che uno dei risultati derivanti dal teorema del limite centrale è il fatto che la quantità $frac(S_n – nμ)(σ*sqrt(n))$ si comporta come una normale standard per n molto grande (con $S_n$ abbiamo indicato la somma campionaria). Quindi possiamo utilizzare questo risultato per approssimare la probabilità richiesta dal problema:

$P(bar T_(100) > 9,5) = P(1/(100) * S_(100) > 9,5) = P(S_(100) > 9,5 * 100) = P(S_(100) > 950 ) = $

$P(frac(S_(100) – nμ)(σ*sqrt(n)) > frac(2,3 – nμ)(σ*sqrt(n))) $

Se chiamiamo con W una variabile aleatoria che si comporta come una normale standard otteniamo:

$P(W > frac(950 – nμ)(σ*sqrt(n))) $

Il problema fornisce tutti i dati necessari; sostituiamo i valori numerici:

$ P(W > frac(950 – nμ)(σ*sqrt(n))) = $

$P(W > frac(950 – 100 * 10)(5*sqrt(100)) ) = $

$ P(W > frac(950 – 1000)(5*10) ) = P(W > frac(-50)(50) ) = $

$P(W > -1) = 1 – P(W<-1)$

Introduciamo la funzione Φ, ovvero la funzione di distribuzione della normale standard:

$ 1 – P(W<-1) = 1 – Φ(-1) = 1 – [1 – Φ(1)] = Φ(1) $

Dalle tabelle della normale standard possiamo ricavare i valori numerici di Φ:

$ Φ(1) = 0,8413 $

ii) Per la seconda parte possiamo procedere in maniera simile alla precedente; questa volta la probabilità da calcolare è la seguente:

$P(9,5 ≤ bar T_(100) ≤ 10,5)$

Procediamo applicando le regole per l’approssimazione normale:

$P(9,5 ≤ bar T_(100) ≤ 10,5) = $

$P(9,5 ≤ 1/(100) * S_(100) ≤ 10,5) = $

$P(950 ≤ S_(100) ≤ 1050) $

$ P( frac(950 – nμ)(σ*sqrt(n)) ≤ frac(S_(100) – nμ)(σ*sqrt(n)) ≤ frac(1050 – nμ)(σ*sqrt(n)) ) $

Introduciamo la variabile W:

$ P( frac(950 – nμ)(σ*sqrt(n)) ≤ W ≤ frac(1050 – nμ)(σ*sqrt(n)) ) $

Sostituiamo i valori numerici:

$ P( frac(950 – 100 * 10)(5*sqrt(100)) ≤ W ≤ frac(1050 – 100 * 10)(5*sqrt(100)) ) = $

$ P( frac(950 – 1000)(5*10) ≤ W ≤ frac(1050 – 1000)(5*10) ) = $

$ P( frac(-50)(50) ≤ W ≤ frac(50)(50) ) = $

$P( -1 ≤ W ≤ 1 ) = P( W ≤ 1 ) – P( W ≤ -1 ) $

Introduciamo come in precedenza la funzione Φ:

$ P( W ≤ 1 ) – P( W ≤ -1 ) = Φ(1) – Φ(-1) = $

$Φ(1) – [1 – Φ(1)] = 2Φ(1) – 1 $

Dalle tabelle della normale standard ricaviamo:

$ 2Φ(1) – 1 = 2 * 0,8413 – 1 = 0,6826 $

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