Un campione di 100 transistor viene estratto da una grossa fornitura e testato per rilevare eventuali imperfezioni. Si trova che 80 pezzi superano il test. Calcolare un intervallo di confidenza a livello $1 – alpha = 0,95$ per la percentuale di transistor della fornitura che sono accettabili.

Dai dati forniti dal problema sappiamo che il numero di transistor testati è n = 100, e che il numero di transistor che passano il test è 80.

Se rappresentiamo con una variabile aleatoria $X_i$ il transistor i-esimo, e affermiamo che tale v.a. assume il valore 1 se il transistor è non difettoso, e zero altrimenti, allora la somma campionaria di tale variabili aleatorie $X = X_1 + …. + X_n$ indica il numero di transistor non difettosi del campione.
Se indichiamo con x la realizzazione del nostro campione, avremo sicuramente che la media campionaria ottenuta dal nostro test è: $bar x = frac(x_1 + … + x_n)(n) = 0,8 $.

Dato che la deviazione standard del campione non è conosciuta, possiamo formulare un intervallo di confidenza per la media della distribuzione è della forma seguente:

$ I = [bar x – frac(s_n)(sqrt(n)) t_(1-α/2),(n-1) , bar x + frac(s_n)(sqrt(n)) t_(1-α/2),(n-1) ] $

dove $s_n ^2$ è la varianza del campione, $t_(1-α/2) $ è il quantile di ordine $1-α/2$ della distribuzione t di Student con n-1 gradi di libertà e $bar x$ è la media campionaria.

Per calcolare la varianza campionaria, considerando che le variabili che stiamo usando sono bernoulliane, possiamo scrivere:

$s_n ^2 = frac(1)(100-1) [80 * (1 – 0,8)^2 + 20 * (0 – 0,8)^2] = frac(1)(99) * [3,2 + 1,28] = 0,0452 $

Calcoliamo $s_n$:

$s_n = sqrt(s_n ^2) = sqrt(0,0452) = 0,21 $

Il valore di $t_(1-α/2) $ si ricava dalle tavole della distribuzione T di Student, ricordando che il livello richiesto è $1 – alpha = 0,95 to alpha = 0,05 $; il quantile $t_(0,975) $ con 99 gradi di libertà è 1,98. Abbiamo quindi tutti dati necessari per determinare l’intervallo di confidenza:

$ I = [0,8 – frac(0,21)(sqrt(100)) * 1,98 , 0,8 + frac(0,21)(sqrt(100)) * 1,98 ] = $
$ I = [0,8 – 0,021 * 1,98 , 0,8 + 0,021 * 1,98 ] = [0,7584 , 0,8416] $

 

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