Dai dati forniti dal problema sappiamo che il numero di transistor testati è n = 100, e che il numero di transistor che superano il test è 80.
Se rappresentiamo con una variabile aleatoria
[math]X_i[/math]
il transistor i-esimo, e affermiamo che tale v.a. assume il valore 1 se il transistor non è difettoso, e zero altrimenti, allora la somma campionaria di tali variabili aleatorie [math]X = X_1 + \ldots + X_n[/math]
indica il numero di transistor non difettosi nel campione.Se indichiamo con x la realizzazione del nostro campione, avremo sicuramente che la media campionaria ottenuta dal nostro test:
[math]\bar{x} = \frac{x_1 + \ldots + x_n}{n} = 0.8[/math]
.Dato che la deviazione standard del campione non è conosciuta, possiamo formulare un intervallo di confidenza per la media della distribuzione nella forma seguente:
[math]I = \left[\bar{x} - \frac{s_n}{\sqrt{n}} \cdot t_{(1-\alpha/2, n-1)}, \bar{x} + \frac{s_n}{\sqrt{n}} \cdot t_{(1-\alpha/2, n-1)}\right][/math]
dove
[math]s_n^2[/math]
è la varianza del campione, [math]t_{(1-\alpha/2, n-1)}[/math]
è il quantile di ordine [math]1-\alpha/2[/math]
della distribuzione t di Student con n-1 gradi di libertà e [math]\bar{x}[/math]
è la media campionaria.Per calcolare la varianza campionaria, considerando che le variabili che stiamo usando sono bernoulliane, possiamo scrivere:
[math]s_n^2 = \frac{1}{100-1} \left[80 \cdot (1 - 0.8)^2 + 20 \cdot (0 - 0.8)^2\right] = \frac{1}{99} \cdot [3.2 + 1.28] = 0.0452[/math]
Calcoliamo
[math]s_n[/math]
:
[math]s_n = \sqrt{s_n^2} = \sqrt{0.0452} = 0.21[/math]
Il valore di
[math]t_{(1-\alpha/2, n-1)}[/math]
si ricava dalle tavole della distribuzione T di Student, ricordando che il livello richiesto è [math]1 - \alpha = 0.95[/math]
(o [math]\alpha = 0.05[/math]
); il quantile [math]t_{(0.975)}[/math]
con 99 gradi di libertà è 1.98. Abbiamo quindi tutti i dati necessari per determinare l'intervallo di confidenza:
[math]I = [0.8 - \frac{0.21}{\sqrt{100}} \cdot 1.98, 0.8 + \frac{0.21}{\sqrt{100}} \cdot 1.98] = [/math]
[math]I = [0.8 - 0.021 \cdot 1.98, 0.8 + 0.021 \cdot 1.98] = [0.7584, 0.8416][/math]
