Un commerciante di accessori per computer sa che il numero di articoli di una certa marca che può vendere in un giorno è una variabile aleatoria di Poisson di media 4. i) Quanti articoli di quella marca dovrebbero immagazzinare per essere sicuri al 95% che gli basteranno per 25 giorni? ii) Qual è il numero atteso di giorni entro i 25 che il commerciante passerà senza vendere articoli di quella marca?

i) Indichiamo con $X_i$ il numero di articoli venduti nell’i-esimo giorno; sappiamo che tale variabile aleatoria è di Poisson di parametro 4. Il problema chiede di trovare un valore intero k per cui risulta:

$P(X_1 + … + X_(25) ≤ k) ≥ 0,95$

Possiamo utilizzare l’approssimazione normale per risolvere tale questione.

Ricordiamo che la quantità $frac(S_n – nμ)(σ*sqrt(n))$ si comporta come una normale standard per n molto grande (con $S_n$ abbiamo indicato la somma campionaria). Quindi possiamo utilizzare questo risultato per approssimare la probabilità richiesta dal problema:

$P(X_1 + … + X_(25) ≤ k) = P( S_(25) ≤ k) = P( frac(S_(25) – nμ)(σ*sqrt(n)) ≤ frac(k – nμ)(σ*sqrt(n))) $

Se chiamiamo con W una variabile aleatoria che si comporta come una normale standard otteniamo:

$ P( W ≤ frac(k – nμ)(σ*sqrt(n))) $

Sostituiamo i valori numerici forniti dal problema:

$ P( W ≤ frac(k – nμ)(σ*sqrt(n))) = P( W ≤ frac(k – 25 * 4)(sqrt(4)*sqrt(25))) = $

$ P( W ≤ frac(k – 100)(2*5) ) = P( W ≤ frac(k – 100)(10) ) $

Introduciamo la funzione Φ, ovvero la funzione di distribuzione della normale standard:

$ P( W ≤ frac(k – 100)(10) ) = Φ( frac(k – 100)(10) ) $

Affinché tale quantità sia maggiore o uguale di 0,95 ovvero:

$ Φ( frac(k – 100)(10) ) ≥ 0,995$

possiamo osservare le tabelle della normale standard, e ricavare i valori numerici inversi di Φ; troviamo che 0,995 è circa Φ(1,65). Ciò significa che per rendere vera la disuguaglianza deve essere:

$ frac(k – 100)(10) ≥ 1,65$

Risolviamo la disequazione e troviamo il valore di n:

$ frac(k – 100)(10) ≥ 1,65 to k ≥ 1,65 * 10 +100 = 116,5 $

In conclusione, il commerciante dovrebbe possedere almeno 117 articoli.

ii) Per risolvere il secondo punto, consideriamo il fatto che la probabilità che nessun articolo sia venduto in un determinato giorno è $P(X_i = 0) = e^(-4)$; se indichiamo con Z il numero di giorni su 25 il cui nessun articolo viene venduto, allora Z è una variabile aleatoria binomiale di parametri n = 25 e $p = e^(-4)$. Dalle formule note possiamo ricavare la media di tale variabile aleatoria:

$E[Z] = np = 25 * e^(-4) = 0,4578$

Tale valore indica esattamente il numero atteso di giorni entro i 25 che il commerciante passerà senza vendere tali articoli.

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