1) Indichiamo con
[math]X_i[/math]
il numero di articoli venduti nel i-esimo giorno; sappiamo che tale variabile aleatoria è di Poisson di parametro 4. Il problema chiede di trovare un valore intero k per cui risulta:
[math]P(X_1 + X_2 + \ldots + X_{25} \leq k) \geq 0.95[/math]
Possiamo utilizzare l'approssimazione normale per risolvere tale questione.
Ricordiamo che la quantità
[math]\frac{(S_n - n\mu)}{\sigma \cdot \sqrt{n}}[/math]
si comporta come una normale standard per n molto grande (con
[math]S_n[/math]
abbiamo indicato la somma campionaria).
Quindi possiamo utilizzare questo risultato per approssimare la probabilità richiesta dal problema:
[math]P(X_1 + X_2 + \ldots + X_{25} \leq k) = P(S_{25} \leq k) = P\left(\frac{(S_{25} - n\mu)}{\sigma \cdot \sqrt{n}} \leq \frac{(k - n\mu)}{\sigma \cdot \sqrt{n}}\right)[/math]
Se chiamiamo con W una variabile aleatoria che si comporta come una normale standard otteniamo:
[math]P(W \leq \frac{(k - n\mu)}{\sigma \cdot \sqrt{n}})[/math]
Sostituiamo i valori numerici forniti dal problema:
[math]P(W \leq \frac{(k - 25 \cdot 4)}{\sqrt{4} \cdot \sqrt{25}}) = P(W \leq \frac{(k - 100)}{2 \cdot 5}) = P(W \leq \frac{(k - 100)}{10})[/math]
Introduciamo la funzione Phi (
[math]\Phi[/math]
), ovvero la funzione di distribuzione della normale standard:
[math]P(W \leq \frac{(k - 100)}{10}) = \Phi\left(\frac{(k - 100)}{10}\right)[/math]
Affinché tale quantità sia maggiore o uguale a 0.95, ovvero:
[math]\Phi\left(\frac{(k - 100)}{10}\right) \geq 0.95[/math]
Possiamo osservare le tabelle della normale standard, e ricavare i valori numerici inversi di
[math]\Phi[/math]
; troviamo che 0.95 corrisponde a
[math]\Phi(1.65)[/math]
. Ciò significa che per rendere vera la disuguaglianza deve essere:
[math]\frac{(k - 100)}{10} \geq 1.65[/math]
Risolviamo la disequazione e troviamo il valore di k:
[math]\frac{(k - 100)}{10} \geq 1.65 \Rightarrow k \geq 1.65 \cdot 10 + 100 = 116.5[/math]
In conclusione, il commerciante dovrebbe possedere almeno 117 articoli.
2) Per risolvere il secondo punto, consideriamo il fatto che la probabilità che nessun articolo sia venduto in un determinato giorno è
[math]P(X_i = 0) = e^{-4}[/math]
; se indichiamo con Z il numero di giorni su 25 nei quali nessun articolo viene venduto, allora Z è una variabile aleatoria binomiale di parametri n = 25 e
[math]p = e^{-4}[/math]
. Dalle formule note possiamo ricavare la media di tale variabile aleatoria:
[math]E[Z] = np = 25 \cdot e^{-4} = 0.4578[/math]
Tale valore indica esattamente il numero atteso di giorni entro i 25 in cui il commerciante passerà senza vendere tali articoli.
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