_stan
di _stan
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  1. Qual è la probabilità di vincere in una singola estrazione?
  2. In media quanti tentativi sono necessari per vincere?
  3. Qual è la probabilità di vincere almeno una volta nelle prime 100 estrazioni?

1) In una estrazione del lotto vengono estratte dall'urna 5 palline senza rimpiazzo; la probabilità di vincere, ovvero di fare un ambo, corrisponde al fatto che, tra le cinque palline estratte, due corrispondano a quelle puntate dal giocatore, ovvero due siano i numeri 1 e 90.

Possiamo risolvere il problema considerando una distribuzione ipergeometrica.

Possiamo dividere il gruppo delle palline totali in due insiemi, uno dei quali è l'insieme {1,90}, e l'altro l'insieme {2,, 89}; in questo modo, dobbiamo calcolare la probabilità che, effettuando 5 estrazioni, vengano estratte esattamente 2 palline dal primo gruppo.

Il numero di possibili modi in cui si possono estrarre due palline dal primo gruppo dato dal coefficiente binomiale:

[math] \binom{2}{2} [/math]

mentre il numero di modi in cui è possibile estrarre 3 palline dal secondo gruppo è dato dal coefficiente binomiale:

[math] \binom{88}{3} [/math]

Infine, il numero di modi possibili in cui possono essere estratte 5 palline su un insieme di 90 è dato da:

[math] \binom{90}{5} [/math]

La probabilità di vincita può essere calcolata come rapporto tra numero di casi favorevoli su numero di casi possibili, ovvero:

[math] \frac{ \binom{2}{2} * \binom{88}{3} }{ \binom{90}{5} } [/math]

Procediamo applicando le proprietà dei coefficienti binomiali:

[math] \frac{ \frac{2!}{2!0!} \cdot \frac{ 88! }{ 3! 85! } }{ frac{ 90! }{ 5! 85! } } = [/math]

[math] \frac{ 1 \cdot \frac{ 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85! }{ 3! 85! } }{ \frac{ 90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85! }{ 5! 85! } } = [/math]

[math] \frac{ 1 \cdot \frac{ 88 \cdot 87 \cdot 86 }{ 3 \cdot 2 \cdot 1 } }{ \frac{ 90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 }{ 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 } } = [/math]

[math] \frac{ 109736 }{ 43949268 } = \frac{2}{801} = 0,0025 [/math]

2) La situazione descritta dal problema può essere modellata come uno schema successo-insuccesso, in quanto le estrazioni settimanali del lotto sono indipendenti ognuna dalle altre.
Sappiamo che la probabilità di successo

[math] p = 0,0025[/math]
, e dobbiamo determinare quanti tentativi occorre fare per poter vincere, ovvero dobbiamo trovare l'istante di primo successo. Tale istante T può essere modellato come una variabile aleatoria che segue una legge geometrica modificata, di parametro p; la legge quindi ha la seguente sintassi:

[math] P(T=k) = p(1-p)^{k-1} [/math]

Per calcolare il numero medio di tentativi necessari, possiamo procedere calcolando la speranza matematica della variabile T, ovvero

[math]E[T][/math]
; dalla definizione sappiamo che per una variabile aleatoria X:

[math] \displaystyle E[X] = \sum_{j} x_j \cdot P(X=x_j) [/math]

per valori di

[math]j >= 0[/math]
, possiamo scrivere la speranza nel modo seguente:

[math] E[X] = 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) + 3 \cdot P(X=3) + . [/math]

ovvero:

[math] E[X] = P(X=1) + P(X=2) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=3) + P(X=3) + . [/math]

[math] E[X] = [P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + . ] + [P(X=2) + P(X=3) + .] + [P(X=3) + ] + . [/math]

È facile vedere che tale scrittura può essere semplificata nel seguente modo:

[math] E[X] = P(X>0) + P(X>1) + P(X>2) + P(X>3) . [/math]

Quindi, riassumendo si avrebbe:

[math] \displaystyle E[X] = \sum_{j} x_j \cdot P(X = x_j) = \sum_{j} P(X > j) [/math]

In questo modo, possiamo calcolare pi facilmente la speranza cercata; cominciamo determinando la probabilità

[math]P(T:

[math] \displaystyle P(T \leq k) = \sum_{j=1}^{k} p(1-p)^{j-1} = p \cdot \sum_{h=0}^{k-1} (1-p)^{h} [/math]

Tale somma ha per risultato:

[math] \displaystyle p \cdot \sum_{h=0}^{k-1} (1-p)^{h} = p \cdot \frac{1 - (1-p)^k}{1 - (1-p)} = 1 - (1-p)^k [/math]

Per il calcolo della media abbiamo bisogno della probabilità

[math]P(T>k)[/math]
, che possiamo ricavare dal complementare della precedente:

[math] P(T>k) = 1 - P(T

A questo punto possiamo riprendere la formula della speranza ricavata precedentemente, e sostituire la probabilità che abbiamo trovato:

[math] \displaystyle E[T] = \sum_{k} P(T>k) = \sum_{k} (1-p)^k = \frac{1}{1 - (1-p)} = \frac{1}{p} [/math]

Di conseguenza, abbiamo che il numero medio di tentativi da effettuare prima di vincere è dato da:

[math] \frac{1}{p} = \frac{1}{0,0025} = 400[/math]

3) L'ultimo punti ci chiede la probabilità di vincere almeno una volta nelle prime 100 estrazioni; poiché ogni estrazione (di 5 palline) è indipendente dalla precedente, se chiamiamo con X il numero di successi, possiamo modernizzare tale situazione come uno schema di successo-insuccesso dove X è una variabile aleatoria con legge binomiale. La probabilità di ottenere k successi data dalle seguente formula:

[math] P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} [/math]

dove n indica il numero di prove, k il numero di successi e p la probabilità di successo.

Per risolvere il quesito dobbiamo calcolare la probabilit che vi sia almeno un successo, ovvero la somma delle probabilità

[math]P(X = k)[/math]
con k maggiore o uguale ad 1; una soluzione più veloce consiste nel calcolare l'evento complementare, ovvero la probabilità che vi siano 0 successi nelle prime 100 estrazioni:

[math] P(X = 0) = \binom{100}{0} p^0 (1-p)^{100-0} = (1-p)^{100} [/math]

A questo punto, la probabilità cercata data da:

[math] P(X > 0) = 1 - (1-p)^{100} = 1 - 0.778 = 0.222 [/math]

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