Una compagnia di assicurazioni vuole condurre un’indagine per stimare l’indennizzo medio pagato a seguito di incidenti domestici. Analisi pregresse mostrano che tali importi possono essere modellati con una variabile aleatoria gaussiana di media μ incognita e deviazione standard nota pari a 400 euro. Su un campione casuale $(X_1 , … , X_n)$ di n incidenti è stato osservato un indennizzo medio $bar X_n$ pari a 6230 euro. i) Determinare un intervallo di confidenza di livello 95% per il parametro μ quando l’ampiezza del campione è n = 144. ii) Determinare la dimensione minima del campione necessaria affinché l’ampiezza dell’intervallo di confidenza di livello 95% per il parametro μ non superi i 160 euro

i) Un intervallo di confidenza al livello 1 – α per la media incognita è della forma seguente:

$ I = [bar x_n – frac(σ)(sqrt(n)) ϕ_(1-α/2) , bar x_n + frac(σ)(sqrt(n)) ϕ_(1-α/2) ] $

dove $σ$ è la deviazione standard del campione, $ϕ_(1-α/2) $ è il quantile di ordine $1-α/2$ della distribuzione normale standard e $bar x_n$ è la media campionaria. In questo caso, poiché la confidenza deve essere al 95%, sappiamo che 1 – α = 0,95.

Analizziamo i dati che fornisce il problema:

$n = 144$

$bar x_n = 6230$

$ σ = 400 $

$1-α = 0,95 to 1-α/2 = 0,975$

Dalla tavola dei valori della distribuzione normale standard possiamo trovare che il quantile di ordine $1-α/2$ è 1,96. Avendo a disposizione tutti i dati necessari, possiamo determinare l’intervallo di confidenza richiesto:

$ I = [ 6230 – frac(400)(sqrt(144)) * 1,96 ; 6230 + frac(400)(sqrt(144)) * 1,96 ] = $

$ [ 6230 – frac(400)(12) * 1,96 ; 6230 + frac(400)(12) * 1,96 ] = $

$ [ 6230 – 65,333 ; 6230 + 65,333 ] = [6164,67 ; 6295,333]$

ii) Considerata la formulazione dell’intervallo di confidenza per la media fatta precedentemente, sappiamo che la sua ampiezza è la seguente:

$ w = bar x_n + frac(σ)(sqrt(n)) ϕ_(1-α/2) – [bar x_n – frac(σ)(sqrt(n)) ϕ_(1-α/2)] = $

$ bar x_n + frac(σ)(sqrt(n)) ϕ_(1-α/2) – bar x_n + frac(σ)(sqrt(n)) ϕ_(1-α/2) = 2 frac(σ)(sqrt(n)) ϕ_(1- α/2) $

Quindi, per risolvere il problema dobbiamo trovare il più piccolo n per cui risulta vera la seguente disuguaglianza:

$ 2 frac(σ)(sqrt(n)) ϕ_(1-α/2) <= 160 $

Risolviamo la disequazione:

$ 2 frac(400)(sqrt(n)) * 1,96 <= 160 $

$ 2 * 400 * 1,96 <= 160 * sqrt(n)$

$ 1568 <= 160 * sqrt(n)$

$ 9,8 <= sqrt(n) to n >= 96,04 $

Quindi, il più piccolo n intero che soddisfa la disuguaglianza è n = 97.

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