i) Un intervallo di con?denza al livello 1 - ? per la media incognita della forma seguente:
[math] I = [ar x_n - frac(?)(\sqrt{n}) ?_(1-?/2) , ar x_n + frac(?)(\sqrt{n}) ?_(1-?/2) ] [/math]
dove
[math]?[/math]
la deviazione standard del campione, [math]?_(1-?/2) [/math]
il quantile di ordine [math]1-?/2[/math]
della distribuzione normale standard e [math]ar x_n[/math]
la media campionaria. In questo caso, poich la con?denza deve essere al 95%, sappiamo che 1 - ? = 0,95.Analizziamo i dati che fornisce il problema:
[math]n = 144[/math]
[math]ar x_n = 6230[/math]
[math] ? = 400 [/math]
[math]1-? = 0,95 o 1-?/2 = 0,975[/math]
Dalla tavola dei valori della distribuzione normale standard possiamo trovare che il quantile di ordine
[math]1-?/2[/math]
1,96. Avendo a disposizione tutti i dati necessari, possiamo determinare l'intervallo di con?denza richiesto:
[math] I = [ 6230 - frac(400)(\sqrt{144}) \cdot 1,96 ; 6230 + frac(400)(\sqrt{144}) \cdot 1,96 ] = [/math]
[math] [ 6230 - frac(400)(12) \cdot 1,96 ; 6230 + frac(400)(12) \cdot 1,96 ] = [/math]
[math] [ 6230 - 65,333 ; 6230 + 65,333 ] = [6164,67 ; 6295,333][/math]
ii) Considerata la formulazione dell'intervallo di con?denza per la media fatta precedentemente, sappiamo che la sua ampiezza la seguente:
[math] w = ar x_n + frac(?)(\sqrt{n}) ?_(1-?/2) - [ar x_n - frac(?)(\sqrt{n}) ?_(1-?/2)] = [/math]
[math] ar x_n + frac(?)(\sqrt{n}) ?_(1-?/2) - ar x_n + frac(?)(\sqrt{n}) ?_(1-?/2) = 2 frac(?)(\sqrt{n}) ?_(1- ?/2) [/math]
Quindi, per risolvere il problema dobbiamo trovare il pi piccolo n per cui risulta vera la seguente disuguaglianza:
[math] 2 frac(?)(\sqrt{n}) ?_(1-?/2)
Risolviamo la disequazione:
[math] 2 frac(400)(\sqrt{n}) \cdot 1,96
[math] 2 \cdot 400 \cdot 1,96
[math] 1568
[math] 9,8 = 96,04 [/math]
Quindi, il pi piccolo n intero che soddisfa la disuguaglianza n = 97.
