Indichiamo con X una variabile aleatoria che conta il numero di teste uscite in 1000 lanci. Poiché X può essere intesa come somma di variabili aleatorie Bernoulliane, per cui ognuna di esse assume il valore 1 se l'uscita corrispondente è testa e assume il valore zero altrimenti, sappiamo che X segue una legge Binomiale di parametri n = 1000 (numero di prove) e p = 0,5 (probabilità di successo, nel caso di una moneta equilibrata).
Possiamo calcolare la sua media e la sua varianza utilizzando le formule note:
[math]E[X] = np = 1000 \cdot 0,5 = 500[/math]
[math]Var[X] = np(1-p) = 1000 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 250[/math]
La probabilità richiesta dal problema è la seguente:
[math]P(X \leq 526) = P(X < 526,5)[/math]
Per calcolare la probabilità richiesta possiamo utilizzare l'approssimazione normale: per farlo, sottraiamo ad entrambi i membri della disuguaglianza la media di X, e dividiamo entrambi per la sua deviazione standard:
[math]P\left(\frac{{X - E[X]}}{{\sqrt{{Var(X)}}}} < \frac{{526.5 - E[X]}}{{\sqrt{{Var(X)}}}}\right)[/math]
Sostituiamo i valori numerici:
[math]P\left(W < \frac{{526.5 - 500}}{{\sqrt{{250}}}}\right) = P\left(W < \frac{{26.5}}{{15.81}}\right) = P\left(W < 1.676\right) = \Phi(1.676)[/math]
dove con
[math] \Phi [/math]
abbiamo indicato la funzione di distribuzione della normale standard.Ricavando i valori numerici dalla relativa tabella, otteniamo:
[math]\Phi(1.676) = 0.9525[/math]
