_stan
di _stan
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  1. Qual è la probabilità che venga fuori un bottone verde?
  2. Qual è la probabilità che venga estratto un bottone verde, sapendo che il verde non è uscito nelle prime due estrazioni?
  3. Sapendo che nelle tre estrazioni è venuto fuori il bottone verde, qual è la probabilità che il verde non sia uscito nelle prime due estrazioni?

Poiché le estrazioni sono senza rimpiazzo, possiamo indicare con A l'evento esce un bottone verde in una delle estrazioni; utilizzando la legge ipergeometrica, possiamo calcolare la probabilità richiesta; in particolare, essendo una sola pallina verde nell'insieme, essa potrà essere scelta solo in un modo, mentre le restanti due palline potranno essere scelte tra le 5 rimanenti;
applicando la formula:

[math]P(A) = \frac{{\binom{5}{2}}}{{\binom{6}{3}}}[/math]

Svolgiamo i calcoli:

[math]P(A) = \frac{{\frac{{5!}}{{2!3!}}}}{{\frac{{6!}}{{3!3!}}}} = \frac{{\frac{{5 \cdot 4 \cdot 3!}}{{2!3!}}}}{{\frac{{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}}{{3!3!}}}} = [/math]

[math]\frac{{\frac{{5 \cdot 4}}{{2}}}}{{\frac{{6 \cdot 5 \cdot 4}}{{3 \cdot 2}}}} = \frac{{10}}{{20}} = \frac{{1}}{{2}}[/math]

2) Supponiamo che nelle prime due estrazioni la pallina verde non sia uscita; di conseguenza, poiché le estrazioni sono senza rimpiazzo, alla terza estrazione rimarranno solo 4 palline tra cui scegliere; possiamo dedurre quindi che la probabilità che venga estratta la pallina verde alla terza estrazione sia esattamente

[math]\frac{{1}}{{4}}[/math]
.

3) Per risolvere tale quesito, possiamo utilizzare la formula di Bayes e le probabilità condizionali; indichiamo con B l'evento la pallina verde non è uscita in una delle prime due estrazioni, utilizzando la formula della legge ipergeometrica abbiamo:

[math]P(B) = \frac{{\binom{5}{2}}}{{\binom{6}{2}}}[/math]

Svolgendo i calcoli si ha:

[math]P(B) = \frac{{\frac{{5!}}{{2!3!}}}}{{\frac{{6!}}{{2!4!}}}} = \frac{{\frac{{5 \cdot 4 \cdot 3!}}{{2!3!}}}}{{\frac{{6 \cdot 5 \cdot 4!}}{{4!2!}}}} = [/math]

[math]\frac{{\frac{{5 \cdot 4}}{{2}}}}{{\frac{{6 \cdot 5}}{{2}}}} = \frac{{10}}{{15}} = \frac{{2}}{{3}}[/math]

Quindi ciò che è richiesto dal problema può essere calcolato con la formula:

[math]P(B|A) = \frac{{P(A|B) \cdot P(B)}}{{P(A)}}[/math]

Sostituiamo i valori numerici e calcoliamo il risultato:

[math]P(B|A) = \frac{{\frac{{1}}{{4}} \cdot \frac{{2}}{{3}}}}{{\frac{{1}}{{2}}}} = \frac{{1}}{{6}} \cdot \frac{{1}}{{2}} = \frac{{1}}{{3}}[/math]

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