- Qual è la probabilità di estrarre una batteria carica?
- Sapendo che è stata estratta una batteria carica, è più probabile che l'estrazione sia stata fatta da [math]S_1[/math]o da[math]S_2[/math]?
Per risolvere il quesito, chiamiamo con
[math]E_1[/math]
l'evento si sceglie la prima scatola, e con [math]E_2[/math]
l'evento si sceglie la seconda scatola; lanciando un dado, se esce un numero minore di 3 si verifica l'evento [math]E_1[/math]
. Dato che il dado non è truccato, la probabilità che esca un determinato valore è [math]\frac{1}{6}[/math]
. Quindi, se indichiamo con [math]D_i[/math]
il valore uscito dal lancio del dado, abbiamo che:
[math] P(E_1) = P(D_1) + P(D_2) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3} [/math]
Mentre la probabilità che si scelga la seconda scatola è:
[math] P(E_2) = 1 - P(E_1) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} [/math]
La probabilità di estrarre una batteria carica dalla prima scatola è
[math]P(C_1) = \frac{7}{10}[/math]
, mentre la probabilità di estrarre una batteria carica dalla seconda è [math]P(C_2) = \frac{4}{7}[/math]
. Quindi, utilizzando la probabilità condizionata, possiamo calcolare la probabilità di estrarre una batteria carica:
[math]P(C) = P(C|E_1) \cdot P(E_1) + P(C|E_2) \cdot P(E_2) = P(C_1) \cdot P(E_1) + P(C_2) \cdot P(E_2) = [/math]
[math]\frac{7}{10} \cdot \frac{1}{3} + \frac{4}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{7}{30} + \frac{8}{21} = 0.61[/math]
Calcoliamo le probabilità che, sapendo che è stata estratta una batteria carica, essa provenga dalla prima scatola e dalla seconda; per farlo, possiamo applicare la formula di Bayes:
[math]P(E_1|C) = \frac{{P(C|E_1) \cdot P(E_1)}}{{P(C|E_1) \cdot P(E_1) + P(C|E_2) \cdot P(E_2)}} = [/math]
[math]\frac{{\frac{7}{10} \cdot \frac{1}{3}}}{{\frac{7}{10} \cdot \frac{1}{3} + \frac{4}{7} \cdot \frac{2}{3}}} = \frac{{0.23}}{{0.61}} = 0.38[/math]
Allo stesso modo, applichiamo la formula per il secondo caso:
[math]P(E_2|C) = \frac{{P(C|E_2) \cdot P(E_2)}}{{P(C|E_1) \cdot P(E_1) + P(C|E_2) \cdot P(E_2)}} = [/math]
[math]\frac{{\frac{4}{7} \cdot \frac{2}{3}}}{{\frac{7}{10} \cdot \frac{1}{3} + \frac{4}{7} \cdot \frac{2}{3}}} = \frac{{0.38}}{{0.61}} = 0.62[/math]
Notiamo che è più probabile che la batteria carica sia stata estratta dalla seconda scatola, in quanto
[math]P(E_2|C) > P(E_1|C)[/math]
.
