Un’urna contiene 100 biglie delle quali 8 sono nere, e le rimanenti bianche. Vengono estratte 3 biglie a caso. Sia A l’evento “le 3 biglie estratte sono nere” e B l’evento “delle biglie estratte, 2 sono bianche ed una è nera”. i) Calcolare P(A) e P(B) nel caso che le estrazioni siano con rimpiazzo

ii) Calcolare P(A) e P(B) nel caso che le estrazioni siano senza rimpiazzo.

iii) In quale dei due casi è maggiore la probabilità dell’evento B?

i ) Dalla conoscenza delle distribuzioni di probabilità sappiamo che nel caso di eventi con rimpiazzo possiamo utilizzare una variabile aleatoria X che rappresenta il numero di biglie nere estratte, e  tale variabile aleatoria segue una legge di tipo binomiale. La probabilità del verificarsi dell’evento A, ovvero che vengano estratte tre biglie nere, equivale alla probabilità che X sia uguale a 3,  ovvero:

$$ P(A) = P(X=3) = \binom{n}{k} * (p)^{k} * (1-p)^{n-k} $$

In questo caso i parametri in questione sono: $n = 3$ e $p = frac(8)(100) = 0,08$, quindi:

$$ P(X=3) = \binom{3}{3} * (0,08)^{3} = 0,0005 $$

Per calcolare la probabilità dell’evento B utilizziamo la stessa formula con $k = 1$:

$$ P(B) = P(X=1) = \binom{3}{1} * 0,08 * (1-0,08)^{2} = 0,2031 $$

ii) In questo caso, invece, abbiamo a che fare con estrazioni senza rimpiazzo; anche in questo caso possiamo utilizzare una variabile aleatoria X che rappresenta il numero di biglie nere estratte, ma tale variabile aleatoria seguirà una legge di tipo ipergeometrico; si ha quindi:

$$ P(A) = P(X=3) = \frac{ \binom{8}{3} * \binom{92}{0} }{ \binom{100}{3} } = 0,0003 $$

Mentre per l’evento B si ha:

$$ P(B) = P(X=1) = \frac{ \binom{8}{1} * \binom{92}{2} }{ \binom{100}{3} } = 0,2071 $$

iii) Nel primo caso la probabilità dell’evento B è 0,2031, mentre nel secondo caso si ha 0,2071; possiamo quindi concludere che l’evento B ha probabilità maggiore nel secondo caso.

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