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di _stan
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  1. Calcolare P(A) e P(B) nel caso che le estrazioni siano senza rimpiazzo;
  2. In quale dei due casi è maggiore la probabilità dell'evento B?

1) Dalla conoscenza delle distribuzioni di probabilità sappiamo che nel caso di eventi con rimpiazzo possiamo utilizzare una variabile aleatoria X che rappresenta il numero di biglie nere estratte, e tale variabile aleatoria segue una legge di tipo binomiale. La probabilità del verificarsi dell'evento A, ovvero che vengano estratte tre biglie nere, equivale alla probabilità che X sia uguale a 3, ovvero:

[math]P(A) = P(X=3) = \binom{n}{k} \cdot (p)^{k} \cdot (1-p)^{n-k}[/math]

In questo caso i parametri in questione sono:

[math]n = 3 [/math]
e
[math] p = \frac{8}{100} = 0,08 [/math]
, quindi:

[math]P(X=3) = \binom{3}{3} \cdot (0.08)^{3} = 0.0005[/math]

Per calcolare la probabilità dell'evento B utilizziamo la stessa formula con

[math]k = 1[/math]
:

[math]P(B) = P(X=1) = \binom{3}{1} \cdot 0.08 \cdot (1-0.08)^{2} = 0.2031[/math]

2) In questo caso, invece, abbiamo a che fare con estrazioni senza rimpiazzo; anche in questo caso possiamo utilizzare una variabile aleatoria X che rappresenta il numero di biglie nere estratte, ma tale variabile aleatoria seguirà una legge di tipo ipergeometrico; si ha quindi:

[math]P(A) = P(X=3) = \frac{\binom{8}{3} \cdot \binom{92}{0}}{\binom{100}{3}} = 0.0003[/math]

Mentre per l'evento B si ha:

[math]P(B) = P(X=1) = \frac{\binom{8}{1} \cdot \binom{92}{2}}{\binom{100}{3}} = 0.2071[/math]

3) Nel primo caso la probabilità dell'evento B è 0.2031, mentre nel secondo caso si ha 0.2071; possiamo quindi concludere che l'evento B ha probabilità maggiore nel secondo caso.

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