Un’urna contiene 4 palline rosse e 7 bianche. Vengono effettuate delle estrazioni senza rimpiazzo

i) Qual è la probabilità che le prime due palline estratte siano entrambe rosse?

ii) Qual è la probabilità che la seconda e la terza estratta siano entrambe rosse, sapendo che la

prima estratta era bianca? E se la prima estratta fosse stata rossa?

iii) Qual è la probabilità che la seconda e la terza estratta siano entrambe rosse?

i) Il problema può essere risolto denominando con R l’evento “le prime due palline estratte sono di colore rosso”; si può procedere considerando una distribuzione ipergeometrica. Infatti, considerando un totale di 11 palline, il numero di modi in cui possono essere estratte due palline è dato dal coefficiente binomiale:

$$\binom{11}{2} $$

Consideriamo ora il numero di casi favorevoli; poiché le palline rosse sono in totale 4, esse possono essere scelte in un numero di modi dato da:

$$\binom{4}{2} $$

Infine, la probabilità che nelle due prime estrazioni si abbiamo entrambe le palline rosse è data da:

$$ P(R) = \frac{ \binom{4}{2} }{ \binom{11}{2} } = $$

Svolgendo i calcoli si ha:

$$ P(R) = \frac{ \frac{ 4! }{2! 2!} }{ \frac{11!}{2!9!} } = \frac{ \frac{ 4*3*2! }{2! 2!} }{ \frac{11*10*9!}{2! 9!} } = $$

$$\frac{ \frac{ 4*3 }{2} }{ \frac{11*10}{2} } = \frac{ 6 }{ 55 } = 0,11 $$

ii) Indichiamo con $R_i$ l’evento “l’i-esima pallina estratta è di colore rosso” e con $B_i$ l’evento “l’i-esima pallina estratta è di colore bianco”; in questo caso ci viene chiesta la probabilità seguente:

$ P( (R_2 ⋂ R_3) |B_1) $

Se ipotizziamo che la prima pallina estratta sia di colore bianco, e dato che le estrazioni sono senza rimpiazzo, rimarranno nell’urna esattamente 10 palline. Tra queste dobbiamo estrarne altre due, e vogliamo che esse siano di colore rosso; tale estrazione può essere fatta in $$\binom{4}{2} $$

modi. Il numero di modi possibili per cui possono essere estratte al seconda e la terza pallina è invece dato da:

$$\binom{10}{2} $$

Il rapporto tra le due precedenti espressioni ci fornisce la probabilità cercata:

$$ P( (R_2 ⋂ R_3) |B_1) = \frac{ \binom{4}{2} }{ \binom{10}{2} } $$

Svolgiamo i calcoli:

$$ \frac{ \frac{ 4! }{2! 2!} }{ \frac{10!}{2!8!} } = \frac{ \frac{ 4*3*2! }{2! 2!} }{ \frac{10*9*8!}{2!8!} } = $$

$$\frac{ \frac{ 4*3 }{2} }{ \frac{10*9}{2} } = \frac{ 6 }{ 45 } = 0,13 $$

In maniera analoga possiamo ragionare nel caso in cui la prima estratta fosse rossa; in questo caso dobbiamo calcolare la seguente probabilità:

$ P( (R_2 ⋂ R_3) |R_1) $

In questo caso, ipotizzando che la prima pallina estratta sia di colore rosso, tra le 10 palline rimanenti dobbiamo estrarne altre due, e vogliamo che anche esse siano di colore rosso; tale estrazione può essere fatta in $$\binom{3}{2} $$ modi, in quanto una pallina rossa era già stata estratta in precedenza. Il numero di casi totali possibili per la seconda e la terza estrazione rimane lo stesso.

La probabilità è data quindi da:

$$ P( (R_2 ⋂ R_3) |R_1) = \frac{ \binom{3}{2} }{ \binom{10}{2} } $$

Svolgiamo i calcoli:

$$ \frac{ \frac{ 3! }{2! 1!} }{ \frac{10!}{2!8!} } = \frac{ \frac{ 3*2! }{2! 1!} }{ \frac{10*9*8!}{2!8!} } = $$

$$\frac{ \frac{ 3 }{1} }{ \frac{10*9}{2} } = \frac{ 3 }{ 45 } = 0,066 $$

iii) In questo ultimo punto dobbiamo calcolare la probabilità che la seconda e la terza pallina estratta siano entrambe rosse, ovvero la probabilità:

$ P( R_2 ⋂ R_3) $

Possiamo risolvere il quesito considerando la formula delle probabilità totali, e considerando i casi in cui la prima estratta sia bianca e la prima estratta sia rossa; dobbiamo calcolare quindi la seguente probabilità:

$ P( R_2 ⋂ R_3) = P( (R_2 ⋂ R_3) |R_1) * P(R_1) + P( (R_2 ⋂ R_3) |B_1) * P(B_1) $

Le quantità in questione sono state già trovate nei punti precedenti; possiamo quindi procedere con i calcoli:

$ P( R_2 ⋂ R_3) = P( (R_2 ⋂ R_3) |R_1) * P(R_1) + P( (R_2 ⋂ R_3) |B_1) * P(B_1) $

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