_stan
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  1. Calcolare la probabilità di estrarre una pallina pari e una dispari in questo ordine, ovvero la probabilità che la prima pallina estratta sia pari;
  2. Calcolare la probabilità che la prima pallina estratta sia pari, sapendo che la seconda pallina estratta è dispari;
  3. In riferimento all'urna con la composizione iniziale, supponiamo di estrarre 3 palline, una alla volta e con reinserimento. Calcolare la probabilità di estrarre almeno 2 palline con un numero dispari.

1) Per semplicità, indichiamo con

[math]A_1[/math]
l'evento "la prima pallina estratta è pari", e con
[math]B_2[/math]
l'evento "la seconda pallina estratta è dispari".
Il problema chiede di determinare la probabilità che si verifichino entrambi gli eventi, ovvero la probabilità
[math]P(A_1 \cap B_2)[/math]
. Sfruttando le proprietà della probabilità condizionale, possiamo ricavare la probabilità cercata.

Consideriamo la probabilità condizionale dell'evento

[math]B_2[/math]
dato l'evento
[math]A_1[/math]
, ovvero la probabilità di estrarre la seconda pallina dispari sapendo che la prima estratta è pari; poiché le estrazioni sono senza rimpiazzo, tale probabilità vale:

[math]P(B_2 | A_1) = \frac{3}{4}[/math]

La probabilità condizionale può anche essere espressa nel seguente modo:

[math]P(B_2 | A_1) = \frac{P(A_1 \cap B_2)}{P(A_1)}[/math]

La probabilità che la prima pallina estratta sia pari è data da:

[math]P(A_1) = \frac{2}{5}[/math]

Possiamo quindi ricavare la probabilità cercata:

[math]P(A_1 \cap B_2) = P(B_2 | A_1) \cdot P(A_1) = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{3}{10}[/math]

2) In questo caso dobbiamo calcolare la probabilità

[math]P(A_1 | B_2)[/math]
; tale probabilità può essere calcolata applicando la seguente formula:

[math]P(A_1 | B_2) = \frac{P(B_2 | A_1) \cdot P(A_1)}{P(B_2 | A_1) \cdot P(A_1) + P(B_2 | B_1) \cdot P(B_1)}[/math]

Dove con

[math]B_1[/math]
si indica l'evento "la prima pallina estratta è dispari", e tale probabilità può essere calcolata come la complementare di quella dell'evento
[math]A_1[/math]
:

[math]P(B_1) = 1 - P(A_1) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}[/math]

La probabilità

[math]P(B_2 | B_1)[/math]
corrisponde alla probabilità che la seconda pallina sia dispari sapendo che anche la prima pallina era dispari; si trova che:

[math]P(B_2 | B_1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}[/math]

Possiamo quindi sostituire i valori numerici:

[math]P(A_1 | B_2) = \frac{P(B_2 | A_1) \cdot P(A_1)}{P(B_2 | A_1) \cdot P(A_1) + P(B_2 | B_1) \cdot P(B_1)} = \frac{\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5}}{\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5}} = \frac{1}{2}[/math]

3) In questo caso dobbiamo considerare estrazioni con rimpiazzo; possiamo utilizzare una variabile aleatoria X per contare il numero di palline dispari estratte, e sappiamo che tale variabile segue una legge di tipo binomiale (i parametri saranno n = 3, e

[math]p = \frac{3}{5}[/math]
).

Dobbiamo calcolare la probabilità di estrarre almeno due palline dispari, quindi di estrarre 2 o 3 palline dispari:

[math]P(X \geq 2) = P(X = 2) + P(X = 3)[/math]

Applichiamo le formule della distribuzione binomiale:

[math]P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}[/math]

Nel primo caso abbiamo:

[math]P(X = 2) = \binom{3}{2} \left(\frac{3}{5}\right)^{2} \left(1 - \frac{3}{5}\right)^{3 - 2} = \frac{3}{10} \cdot \frac{2}{5} = \frac{3}{25}[/math]

Nel secondo caso abbiamo:

[math]P(X = 3) = \binom{3}{3} \left(\frac{3}{5}\right)^{3} \left(1 - \frac{3}{5}\right)^{3 - 3} = \frac{27}{125}[/math]

Possiamo quindi determinare la probabilità cercata:

[math]P(X \geq 2) = P(X = 2) + P(X = 3) = \frac{3}{25} + \frac{27}{125} = \frac{81}{125} = 0.648[/math]

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