_stan
di _stan
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  1. Calcolare la probabilità di vincere sapendo che la pallina nera non uscita nelle prime due estrazioni.
  2. Sapendo di aver vinto, qual è la probabilità che la pallina nera non sia uscita nelle prime due estrazioni?

1) Possiamo procedere considerando il numero di casi favorevoli sul numero di casi totali; sapendo che dobbiamo estrarre tre palline su sei totali, sappiamo che è possibile estrarre tali palline in un numero di modi dato dal coefficiente binomiale seguente:

[math] \binom{6}{3} [/math]

Sappiamo che la vittoria data dall'estrazione di una pallina nera tra le tre estratte; supponendo che una delle palline estratte sia nera, le altre due possono essere scelte tra le cinque rimanenti, e i possibili modi per farlo sono dati da:

[math] \binom{5}{2} [/math]

Calcolando il numero di casi favorevoli sul numero di casi totali possiamo determinare la probabilità di vittoria:

[math] P = \frac{\binom{5}{2}}{\binom{6}{3}} [/math]

Svolgendo i calcoli si ha:

[math] P = \frac{ \frac{ 5! }{2! 3!} }{ \frac{6!}{3!3!} } = \frac{ \frac{ 5*4*3! }{2! 3!} }{ \frac{6*4*5*3!}{3!3!} } = [/math]

[math] \frac{ \frac{ 5*4 }{2} }{ \frac{6*5*4}{3*2} } = \frac{ 10 }{ 20 } = \frac{1}{2} [/math]

2) Supponiamo che nelle prime due estrazioni non sia presente la pallina nera; dobbiamo quindi calcolare la probabilità che la pallina nera venga estratta esattamente alla terza estrazione.

Se nelle prime due estrazioni vengono estratte due palline non nere, significa che alla terza estrazione deve essere estratta la pallina nera tra le 4 rimanenti.

Possiamo concludere che la probabilit richiesta di

[math]\frac{1}{4}[/math]
.

3) Supponiamo che la pallina nera sia uscita in una delle prime tre estrazioni, e calcoliamo la probabilità che questa sia uscita esattamente alla terza estrazione. Chiamiamo con B levento nelle prime due estrazioni escono palline non nere, e con A l'evento la pallina nera si trova tra le prime tre estratte, ovvero levento che rappresenta la vittoria. Dobbiamo calcolare la probabilità

[math]P(B|A)[/math]
.

Tale probabilità può essere ottenuta applicando la formula di Bayes:

[math]P(B|A) = \frac{ P(A|B) \cdot P(B) }{ P(A) } [/math]

Dove la probabilità di vittoria, trovata nel punto precedente, è :

[math]P(A) = \frac{1}{2}[/math]

Mentre la probabilità di vincere sapendo che le prime due estrazioni diano una pallina non nera è :

[math]P(A|B) = \frac{1}{4}[/math]

Infine, troviamo la probabilità che le prime due palline estratte siano non nere; possiamo ragionare considerando i casi favorevoli sui casi totali; le prime due palline vengono estratte tra sei possibili, quindi il numero di modi in cui esse possono presentarsi è dato da:

[math] \binom{6}{2} [/math]

Poiché le prime due palline devono essere non nere, il numero di casi favorevoli dato considerando 5 palline possibili su sei, ovvero:

[math] \binom{5}{2} [/math]

Il rapporto delle precedenti quantità ci fornisce la probabilità dell'evento B:

[math] P(B) = \frac{ \binom{5}{2} }{ \binom{6}{2} } = [/math]

Svolgendo i calcoli si ha:

[math] P(B) = \frac{ \frac{ 5! }{2! 3!} }{ \frac{6!}{2!4!} } = \frac{ \frac{ 5*4*3! }{2! 3!} }{ \frac{6*5*4!}{4!2!} } = [/math]

[math] \frac{ \frac{ 5*4 }{2} }{ \frac{6*5}{2} } = \frac{ 10 }{ 15 } = \frac{2}{3} [/math]

Possiamo infine calcolare la probabilità cercata:

[math]P(B|A) = \frac{ P(A|B) \cdot P(B) }{ P(A) } = \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} }{ \frac{1}{2}} = \frac{ \frac{1}{6} }{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} [/math]

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