- Qual è la probabilità che le prime 10 palline estratte portino tutte un numero minore o uguale di 60?
- Qual è la probabilità che le prime dieci palline estratte portino tutte un numero dispari?
- Qual è la probabilità che, per i fissato, la pallina i-esima estratta sia proprio la numero i?
- Qual è la probabilità che le prime due palline estratte siano proprio le numero 1 e 2, nell'ordine qualunque?
1) In questo punto consideriamo la probabilità di estrarre le prime 10 palline tutte con un numero minore o uguale a 60; cerchiamo di calcolare il numero di modi possibili in cui questo possa accadere.
Sappiamo che, in una ruota da 90 palline numerate da 1 a 90, vi sono esattamente 60 palline con numero minore o uguale a 60 (ovvero quelle numerate da 1 a 60) e 30 palline con numeri maggiori (quelle numerate da 61 a 90).
Di conseguenza, l'evento richiesto si verifica quando le palline estratte rientrano tutte nel primo gruppo; per trovare il numero di modi possibili in cui questo può accadere, dobbiamo calcolare tutti i possibili sottoinsiemi di 10 elementi in un insieme contenente 60 elementi, e questo è dato dal seguente coefficiente binomiale:
Il numero di modi possibili in cui possono essere estratte 10 palline da un insieme di 90 è dato dal coefficiente binomiale:
Abbiamo quindi il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili; dal loro rapporto si ottiene il valore di probabilità richiesto:
2) Per il secondo punto possiamo applicare un ragionamento simile al precedente: i numeri dispari compresi tra 1 e 90 sono esattamente 45, quindi il numero di casi favorevoli corrisponde al numero di possibili sottoinsiemi di 10 elementi su insieme di 45, e tale valore è dato da:
Il numero di modi possibili in cui possono essere estratte 10 palline da un insieme di 90 è dato dal coefficiente binomiale:
Come in precedenza, dal loro rapporto si ottiene il valore di probabilità richiesto:
3) Fissato un i qualunque, dobbiamo calcolare la probabilità di estrarre la pallina i-esima; sia nel caso di estrazioni con rimpiazzo che nel caso di estrazioni senza rimpiazzo, alla prima estrazione si ha una possibilità su 90 di estrarre proprio la pallina cercata; in altri termini, ragionando con i casi favorevoli sui casi totali, possiamo affermare che i casi totali sono 90, mentre quelli favorevoli 1. La probabilità cercata è semplicemente:
4) Consideriamo l'evento
Considerando estrazioni senza rimpiazzo, passando ai valori numerici abbiamo: