_stan
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  1. Qual è la probabilità che le prime 10 palline estratte portino tutte un numero minore o uguale di 60?
  2. Qual è la probabilità che le prime dieci palline estratte portino tutte un numero dispari?
  3. Qual è la probabilità che, per i fissato, la pallina i-esima estratta sia proprio la numero i?
  4. Qual è la probabilità che le prime due palline estratte siano proprio le numero 1 e 2, nell'ordine qualunque?

1) In questo punto consideriamo la probabilità di estrarre le prime 10 palline tutte con un numero minore o uguale a 60; cerchiamo di calcolare il numero di modi possibili in cui questo possa accadere.

Sappiamo che, in una ruota da 90 palline numerate da 1 a 90, vi sono esattamente 60 palline con numero minore o uguale a 60 (ovvero quelle numerate da 1 a 60) e 30 palline con numeri maggiori (quelle numerate da 61 a 90).

Di conseguenza, l'evento richiesto si verifica quando le palline estratte rientrano tutte nel primo gruppo; per trovare il numero di modi possibili in cui questo può accadere, dobbiamo calcolare tutti i possibili sottoinsiemi di 10 elementi in un insieme contenente 60 elementi, e questo è dato dal seguente coefficiente binomiale:

[math]\binom{60}{10}[/math]

Il numero di modi possibili in cui possono essere estratte 10 palline da un insieme di 90 è dato dal coefficiente binomiale:

[math]\binom{90}{10}[/math]

Abbiamo quindi il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili; dal loro rapporto si ottiene il valore di probabilità richiesto:

[math]p = \frac{\binom{60}{10}}{\binom{90}{10}} = \frac{\frac{60!}{10! \cdot 50!}}{\frac{90!}{10! \cdot 80!}} = \frac{60!}{50!} \cdot \frac{80!}{90!}[/math]

[math]= \frac{60 \cdot 59 \cdot 58 \cdot 57 \cdot 56 \cdot 55 \cdot 54 \cdot 53 \cdot 52 \cdot 51 \cdot 50!}{50!} \cdot \frac{80!}{90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83 \cdot 82 \cdot 81 \cdot 80!}[/math]

[math]= 60 \cdot 59 \cdot 58 \cdot 57 \cdot 56 \cdot 55 \cdot 54 \cdot 53 \cdot 52 \cdot 51 \cdot \frac{1}{90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83 \cdot 82 \cdot 81} = 0,013[/math]

2) Per il secondo punto possiamo applicare un ragionamento simile al precedente: i numeri dispari compresi tra 1 e 90 sono esattamente 45, quindi il numero di casi favorevoli corrisponde al numero di possibili sottoinsiemi di 10 elementi su insieme di 45, e tale valore è dato da:

[math]\binom{45}{10}[/math]

Il numero di modi possibili in cui possono essere estratte 10 palline da un insieme di 90 è dato dal coefficiente binomiale:

[math]\binom{90}{10}[/math]

Come in precedenza, dal loro rapporto si ottiene il valore di probabilità richiesto:

[math]p = \frac{\binom{45}{10}}{\binom{90}{10}} = \frac{\frac{45!}{10! \cdot 35!}}{\frac{90!}{10! \cdot 80!}} = \frac{45!}{35!} \cdot \frac{80!}{90!}[/math]

[math]= \frac{45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37 \cdot 36 \cdot 35!}{50!} \cdot \frac{80!}{90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83 \cdot 82 \cdot 81 \cdot 80!}[/math]

[math]= 45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37 \cdot 36 \cdot \frac{1}{90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83 \cdot 82 \cdot 81} = 5,57 \times 10^{-4}[/math]

3) Fissato un i qualunque, dobbiamo calcolare la probabilità di estrarre la pallina i-esima; sia nel caso di estrazioni con rimpiazzo che nel caso di estrazioni senza rimpiazzo, alla prima estrazione si ha una possibilità su 90 di estrarre proprio la pallina cercata; in altri termini, ragionando con i casi favorevoli sui casi totali, possiamo affermare che i casi totali sono 90, mentre quelli favorevoli 1. La probabilità cercata è semplicemente:

[math]P = \frac{1}{90}[/math]

4) Consideriamo l'evento

[math]E_1[/math]
che corrisponde all'estrazione della pallina numero 1, e l'evento
[math]E_2[/math]
che corrisponde all'estrazione della pallina con numero 2. Dobbiamo calcolare la probabilità che, alle prime due estrazioni, si verifichino entrambi gli eventi
[math]E_1[/math]
e
[math]E_2[/math]
in un ordine qualsiasi, ovvero la probabilità
[math]P(E_1 \cap E_2)[/math]
. Dalla conoscenza della probabilità condizionale, possiamo scrivere:

[math]P(E_1 \cap E_2) = P(E_1| E_2) \cdot P(E_2) + P(E_2 | E_1) \cdot P(E_1)[/math]

Considerando estrazioni senza rimpiazzo, passando ai valori numerici abbiamo:

[math]P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{89} \cdot \frac{1}{90} + \frac{1}{89} \cdot \frac{1}{90} = 2 \cdot \frac{1}{89} \cdot \frac{1}{90} = \frac{1}{4005} = 0,00025[/math]

[math]\frac{1}{89} \cdot \frac{1}{45} = \frac{1}{4005} = 0,00025[/math]

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