Modelli di crescita e sviluppo

Scopo di questo articolo e di aiutare a far comprendere i concetti di derivata, integrale, equazioni differenziali, equazioni alle differenze finite ricorrendo a semplici modelli di crescita/sviluppo illustrati con grafici ed esempi numerici. Un altro obiettivo dell'articolo è mostrare come modelli matematici simili possono descrivere fenomeni molto diversi come: il calcolo degli interessi, la regolazione della temperatura, lo sviluppo di un mercato, la crescita di una popolazione, l'avanzamento di un progetto ecc.

Nel file Excel vengono esaminati i seguenti casi:

Interesse semplice: si supponga di avere un capitale inziale di 100 investito ad un tasso del 3% annuo senza capitalizzazione, ciò vuol dire che al termine di ogni periodo gli interessi maturati non vengono reinvestiti.

Interesse composto: si supponga di avere un capitale inziale di 100 investito ad un tasso del 3% che viene capitalizzato alla fine di ciascun periodo, ciò vuol dire che al termine di ogni periodo gli interessi maturati vengono reinvestiti assieme al capitale.

Regolazione della temperatura: cosa fa un termostato? Registra la temperatura a cui lo avete impostato (ad esempio 20°), misura la temperatura esterna e a seconda della differenza tra quanto desiderato e quanto misurato attua delle azioni correttive, più o meno energiche, per portare la temperatura interna ai valori desiderati. Quando ci facciamo una doccia (prima della diffusione dei miscelatori caldo-freddo e dei boiler con temperatura regolabile) abbiamo svolto il ruolo del termostato aprendo di più il rubinetto del caldo, se l'acqua era troppo fredda o del freddo se l'acqua rischiava di bruciarci. I meno giovani ricorderanno: "... Fredda, Calda, Fredda, Calda... Giusta!!" tratto dalla bella canzone di Giorgio Gaber "Lo Shampoo". Questo è un caso di termostato che invece di avvicinarsi progressivamente all'obiettivo desiderato fa delle oscillazioni, più o meno ampie sopra e sotto il target desiderato (nell'esempio numerico riportato sotto supponiamo si desideri la temperatura dell'acqua della doccia a 38 gradi).

Mercato di un nuovo prodotto: pensiamo al lancio di un nuovo prodotto. Potrebbe essere un innovativo tipo di computer, di smartphone, di tablet, ma anche una lampada a led, una più efficiente batteria agli ioni di litio, una vettura ibrida elettricità - idrogeno, ma anche qualcosa di più convenzionale, come un nuovo detersivo biodegradabile, un mais ogm free, un nuovo tipo di limoncello, un dentifricio per la sensibilità dentinale, ecc. Supponiamo che il ciclo di vita del prodotto sia: nascita, crescita, maturità, saturazione (dinamiche del tutto simili possono aversi in biologia per descrivere lo sviluppo di una popolazione). L'accrescimento delle vendite per il nuovo prodotto (cioè la derivata) è proporzionale sia al livello x raggiunto dal mercato sia al mercato rimanente (1-X) rispetto al livello di saturazione presunto 100%. All'inizio dello sviluppo il numero di acquirenti X è basso. Ciò rispecchia il fatto che il prodotto è poco noto o che esiste una diffidenza/resistenza di tipo psicologico alle novità. Non appena l'espansione del mercato raggiunge un certo livello si attua una pressione degli acquirenti sul mercato potenziale, una specie di reazione a catena che spiega la crescita esponenziale (prevale il feed-back positivo). Infine quando il mercato è abbastanza grande (al punto di flesso) prevale l'effetto della vicina saturazione. Domina il feed-back negativo poiché il mercato rimanente risulta ormai molto piccolo.

Curva ad "S" di progetto: il processo di pianificazione di un progetto parte da una attenta lettura dello scopo del lavoro che permette lo sviluppo della struttura di disaggregazione del progetto (Work Breakdown Structure), sino ad identificare le attività elementari. Le attività da svolgere vengono poi collegate con vincoli di precedenza che, nel loro insieme costituiscono il reticolo (Network) di progetto. Il calcolo del reticolo consente la produzione del diagramma di Gantt (Bar Chart) che colloca le varie attività del progetto nel tempo. Dopo aver caricato le risorse, (divise per tipologia) necessarie a ciascuna attività, si può aggregarle ottenendo l'istogramma di carico e quindi le curve ad "S" di progetto. Come si capisce l'ottenimento delle curve ad "S" di progetto avviene al termine del processo di pianificazione che può richiedere parecchio tempo. Poiché i pagamenti tra cliente e contrattista avvengono spesso a stato avanzato lavori, è interessante per entrambi avere delle curve ad S totali e preliminari (cioè precedenti al completamento dell'intero processo di pianificazione) che permettano di stimare, anche approssimativamente, la tempistica del progetto e dei flussi di cassa.

Modelli di crescita e sviluppo di Roberto Chiappi
File Excel con formule e grafici