Il 14 ottobre 2012 Il paracadutista austriaco Felix Baumgartner si lancia da una capsula (sostenuta da un pallone aerostatico) nei cieli del New Mexico e stabilisce il nuovo record di altezza di lancio: 38969 m, e di velocità massima in caduta libera: 1357 km/h (377 m/s), corrispondente a 1.25 Mach. Felix discende in caduta libera per 4' 20" e per ben 36402 m. Viene dunque battuto il precedente record risalente al 1960. Da parte di un uomo dotato di grandissimo coraggio.
E' questo l'eccezionale risultato di un team di specialisti che hanno progettato per questa prova una tuta speciale pressurizzata, un sistema sofisticato di monitoraggio dei parametri di moto, delle condizioni fisiche, di trasmissione voce, video e dati.
Ed anche la capsula ed un paracadute particolare di tipo acrobatico. E di innumerevoli prove di lancio e di preparazione tecnica. Diversi anni di lavoro e un vasto team di specialisti di tecnica aeronautica, aerospaziale, materiali, medicina, sostenuti dallo sponsor, con un apposito progetto. In questo modo è stato dimostrato che l'uomo, con opportuni accorgimenti, può superare la barriera del suono. Inoltre si è visto che è possibile evitare la temuta ebollizione del sangue. Felix ha raccontato che nella parte alta della caduta non percepiva il flusso dell'aria perché la densità era estremamente bassa.La caduta libera è avvenuta nella modalità dei paracadutisti acrobatici, vale e dire in posizioni bocconi. Tuttavia Felix, nonostante la grande esperienza non ha potuto evitare fenomeni di spin (rotazione), in particolare uno spin di 27" a 60 giri/min nella parte iniziale del volo, quando la velocità era a Mach 1 ha tenuto tutti i collaboratori e spettatori con il fiato sospeso. Grazie alla sua abilità il paracadutista è riuscito sempre a porre fine alla rotazione.
Al termine della caduta libera, a quota 2600 m ha aperto il paracadute acrobatico alla velocità di circa 190 km/h (53 m/s). La velocità si è quindi immediatamente ridotta fino a raggiungere dopo una dozzina di secondi la velocità limite di circa 14.5 km/h (4 m/s). Il volo si è concluso dopo circa 20 minuti dal lancio. Un elicottero ha prontamente raccolto Felix nel deserto. Una grande impresa.
Sulla rete sono riportati alcuni filmati. In particolare il video ufficiale, il filmato rilasciato dallo sponsor ed un altro video che contiene i parametri della discesa istante per istante per i primi 6 minuti. Da quest'ultimo si possono ricavare i profili di quota e velocità in funzione del tempo (in seguito definiti valori sperimentali). Infine il website ufficiale del progetto (4) riporta numerosi dati tecnici.
Ora ci chiediamo: è possibile simulare il volo di Felix? Proviamo.
Si usa il secondo principio della dinamica, mettendo in evidenza, sul lato destro, le forze in gioco, che sono: l'attrazione gravitazionale (Newton) e la forza di resistenza aerodinamica che si oppone al moto. In teoria dovremmo aggiungere anche la spinta di galleggiamento archimedea, ma è facile vedere che il suo effetto è assolutamente trascurabile in questo caso.
Dunque abbiamo:
dove:
Sostituendo:
(a)
A questa si aggiunge la definizione della velocità come derivata della quota z:
(b)
Nella (a) compare la densità, che varia notevolmente con la quota z. La possiamo ricavare da un modello standard dell'atmosfera denominato ISA (International Standard Atmosphere).
Nella parte più bassa dell'atmosfera, detta Troposfera, fino a 11001 m:
Nella parte superiore, detta Stratosfera, fino a 47000 m:
Infine dobbiamo fissare le condizioni iniziali:
t=0 z = 38969 v = 0
Il sistema risolutivo, costituito dalle due equazioni differenziali, corredate dalle equazioni algebriche che esprimono la densità dell'aria e dalle condizioni iniziali, si risolve con metodi numerici. E' da tenere presente che il volo consta di due diverse fasi: la caduta libera a la discesa con paracadute. E quindi il termine che esprime la resistenza dell'aria avrà diversi valori per i parametri Cd ed S nei due casi.
Il file Excel allegato riporta il codice VBA ed i calcoli con i relativi profili ed i diagrammi delle variabili.
Il confronto fra dati sperimentali e modello di simulazione è riportato invece nei due diagrammi della pagine seguente. Si noti che la velocità è sempre negativa(rivolta verso il basso). Tuttavia il profilo ed il diagramma sono stati riportati con il segno inverso perché è più comodo ed abituale vedere la curva nel primo quadrante.
Vogliamo ora fare qualche considerazione sul profilo di velocità. Dal diagramma sopra riportato si vede che, a partire dall'istante di lancio, la velocità (in caduta libera) cresce con grande rapidità, fino ad un massimo (per l'appunto il record), poi decresce fino all'apertura del paracadute, evidenziata dal gradino. Al termine del gradino la velocità è quasi costante. Si è praticamente raggiunta le velocità limite con paracadute. Al contrario nella parte in caduta libera sembra che non si manifesti una velocità limite. Come mai questo comportamento? Perché all'atto del lancio (quasi 40 km dal suolo) la densità dell'aria è bassissima (0,004). In tal modo Felix cade quasi nel vuoto ed acquista una velocità enorme. Dopo quasi 8 km di caduta libera la velocità raggiunge il max e la densità è aumentata 6 volte e questo produce una brusca frenata causata dalla resistenza aerodinamica. In tal modo si riduce molto la velocità. L'apertura del paracadute provoca immediatamente il raggiungimento della velocità limite (3-4 m/s). E' questo, ovviamente, lo scopo del paracadute. Intorno alla quota 1,5 km la densità vale circa 1, ossia 250 volte quella della quota di lancio.
Per meglio capire il discorso della velocità limite ritorniamo all'equazione (a). Si raggiunge la velocità limite quando la resistenza aerodinamica eguaglia l'attrazione gravitazionale. In questa situazione l'accelerazione è quindi nulla. Si può scrivere allora:
(c) [math]v_{lim} = 1/(z+r) \sqrt{(2kmM)/(c_d Ï S)[/math}
La (c) è assolutamente generale ed è chiaramente funzione della quota z. Sappiamo da ISA che Ï è funzione decrescente di z. Quindi la vel. limite è funzione crescente di z. E possibile ad ogni valore della quota z paragonare v e vlim.
Si vede quindi che all'inizio del volo la Vlim è molto superiore alla v. Nel punto di massimo di v le due si eguagliano, poi la v tende alla vlim e in pratica la raggiunge verso quota 7000 m. Dopo il gradino le due sono sempre uguali.
Ben diverso sarebbe stato se la densità dell'aria fosse stata costante per tutto il volo, ad esempio uguale al valore al suolo. In questo caso pochi istante dopo il lancio Felix avrebbe raggiunto la velocità limite in caduta libera( circa 52 m/s) mantenendola fino all'apertura del paracadute. Pochi secondi dopo l'apertura avrebbe quindi raggiunto la velocità limite con paracadute( 3-4 m/s). Ecco(sotto) il relativo diagramma ottenibile con il nostro modello. Situazione assolutamente non realistica!
VARIABILI E PARAMETRI
T = (°K) temperatura
Ρ = (Pa) pressione
z = (m) quota
v = (m/s) velocità verticale
dv/dt = (m/s^2) accelerazione
t = (s) tempo
Ï = (kg/m^3) densità aria
k = 6,67384 e-11 ( m^2/(kg s^2) ) costante gravitazionale universale
m = 100 (kg) massa( stimata) del paracadutista + attrezzature
M = 5,9475 e+24 (kg) massa della Terra
r = 6,3725 e+06 (m) raggio della Terra
S = (m^2) sezione frontale. Paracadutista(stima) =1.0 , Paracadute = 25 (dato)
Cd = coefficiente di resistenza aerodinamica
Valori stimati:
0.567 = paracadutista in caduta libera
5,48 = paracadutista con paracadute
Parametri ISA:
L = 6,5E-03 ( °K/m) gradiente verticale di temperatura
g = 9,81 (m/s^2) accelerazione di gravità
R = 287,1 (m/s^2 °K) costante Aria gas perfetto
Ts = 217 (°K) costante di T nella Startosfera
Ps = 22279 (Pa) costante di pressione nella Stratosfera
zs = 11001(m) costante di quota nella Stratosfera
Paracadutismo estremo, simulazione Excel
File Excel con la simulazione
