Punto di pareggio, modello non lineare

In questo caso, a differenza del modello lineare esaminato in un post precedente, si assume che ricavi e costi non siano più una funzione lineare della produzione/vendite. In particolare si assume per essi una funzione di potenza del tipo: y = a*x^k ed in particolare, nell'esempio:

R = Runit*Q^0.46

CT = CF + CVunit*Q^1.5

Dunque i punti di pareggio saranno dati dalle soluzioni della seguente equazione non lineare:

P = R - CF - CV = 0 cioè:

P = 50*Q^0.46 -150 - 0.3*Q^1.5 = 0

Guardando il grafico sottostante si può vedere che in questo caso si hanno due punti di pareggio: il primo a circa 13.000 unità prodotte, ed il secondo a circa 86.000 unità prodotte.

La soluzione di questa equazione in modo numerico, è proposta nel seguito ricorrendo ad Excel, Menù Strumenti, Ricerca Obiettivo.

Nell'esempio è riportata la soluzione (più interessante) ottenuta dall'algoritmo numerico partendo da Q = 0. Risultato Qp = 13.33 migliaia. Inizializzando invece il sistema a Q = 100.00 si ottiene l'altra soluzione Qp = 85.40 migliaia.

All'interno della finestra 13-86 è naturale chiedersi quale sia il livello di produzione/vendite che garantisce il massimo profitto. Il secondo grafico riportato sotto mostra che tale livello corrisponde circa a 44 migliaia di pezzi.

Poiché il grafico del profitto presenta convessità verso l'alto ed un evidente punto di massimo, per calcolare con maggiore precisione questo punto sarà sufficiente calcolare P', la derivata di P, e porla uguale a zero:

P' = dP/dQ = 50*0.46*Q^(0.46-1) - 0.3*1.5*Q^(1.5-1)

ricorrendo ancora al Menù Strumenti, Ricerca Obiettivo si trova P' = 0 per Q = 43.920 migliaia cui corrisponde il profitto massimo pari 47.516 migliaia di Eur (in conformità con quanto si può stimare sul grafico).

Può essere interessante ritrovare analiticamente la soluzione numerica per la quantità prodotta corrispondente al profitto massimo, già trovata con la opzione Excel Strumenti Ricerca Obiettivo.

dP/dQ = 50*0.46*Q^(0.46-1) - 0.3*1.5*Q^(1.5-1) = 0

Semplificando, dividendo per Q^0.5 e applicando le regole sulla manipolazione delle potenze si trova:

50*0.46*((Q^-0.54)/(Q^0.5)) - 0.3*1.5 = 0

50*0.46*(1/(Q^0.5*Q^0.54)) = 0.3*1.5

50*0.46*(1/Q^(0.5+0.54)) = 0.3*1.5

(50*0.46)/(0.3*1.5) = Q^1.04

Q = ((50*0.46)/(0.3*1.5))^(1/1.04)

da cui risulta, come già trovato graficamente e numericamente:

Q = 43.9342

PMax = 47.516

Punto di pareggio
File EXCEL

Bibliografia:

Economia per ingegneri. H.G. Thuesen, W.J. Fabrycki, G.J. Thuesen. Il Mulino, Bologna 1974.

Tecniche di General Management. Roberto Chiappi. Scuola Superiore E.Mattei, Eni.San Donato (MI), Ottobre 2001.

Il foglio elettronico come strumento per il Problem Solving: Metodi e modelli per le organizzazioni

Roberto Chiappi, Franco Angeli, Milano 2008