Volare

In un recente articolo ho presentato un esempio di valutazione economica di un aereo, basata sul metodo di Montecarlo. E' possibile che qualche lettore abbia curiosità o interesse per il fenomeno del volo, visto dal lato scientifico. In questo articolo provo a esporre, in forma semplificata, alcuni aspetti della teoria che sta alla base del sostentamento aereo e del volo.

Aerodinamica dell'ala

Un corpo qualsiasi in moto relativo rispetto ad un fluido scambia con il medesimo una azione meccanica, rappresentata da forze. Nel caso il fluido sia l'acqua si tratterà del moto di una imbarcazione/nave. Se il fluido è l'aria parliamo di volo (aereo, elicottero, aliante). Ho usato il termine di moto relativo in quanto è indifferente che sia l'aereo a muoversi nell'aria (come avviene durante il volo di un aereo) oppure l'aria a muoversi rispetto all'aereo o ad un suo modello in scala, come avviene in una galleria del vento.

Perché l'aereo possa sostentarsi è necessario che l'aria circostante eserciti una forza che lo tenga sospeso: questa forza, anticipiamo, è definita portanza. Sappiamo che la parte dell'aereo che permette il sostentamento è l'ala (aerofoil). Come si costruisce un ala? In pratica basterebbe disporre di una tavola (ad esempio una porta) disposta obliquamente lungo la direzione del vento.

L'esperienza ha dimostrato tuttavia che, usando una forma opportunamente sagomata (immagine sotto), si ottiene un sostentamento più efficiente.

Notiamo che nei disegni è stata evidenziata con (V_infty) la velocità relativa dell'aria indisturbata lontano dall'ala. Mentre in prossimità dell'ala i filetti dell'aria si dividono per girare attorno all'ala e quindi la loro velocità è variabile è avrà componenti nelle due direzioni x ed y.

Ora l'esperienza insegna che se mettiamo un ala in una galleria del vento essa è sottoposta ad una forza (misurabile), che è rappresentata (figura sotto) da un vettore R (Resultant), che possiamo immaginare di scomporre come somma di due vettori:

• perpendicolare a (V_infty) che chiamiamo Portanza L (Lift);
• parallelo a (V_infty) che definiamo Resistenza D (Drag).

E' facile rendersi conto che la portanza è quanto serve per sostenere l'aereo, mentre la resistenza è una forza che si oppone al moto. Il punto c di applicazione di R si chiama centro di pressione.

Studiosi e ricercatori hanno cercato in diversi modi di spiegare il fenomeno. L'interpretazione più usata ricorre al teorema di Bernoulli: in sintesi l'aria corre più veloce sopra l'ala che sotto, perché il profilo superiore è più lungo di quello inferiore e per il teorema di Bernoulli la pressione sotto è maggiore di quella sopra. Sappiamo che il prodotto della pressione per la superficie è una forza (spinta). In definitiva il bilancio delle spinte è verso l'alto: questa è la portanza. Effettivamente è vero che la pressione sotto è superiore a quella sopra. Si trovano in letteratura dei diagrammi , come ad es. quello riportato sotto, che schematizzano il profilo di pressione sui due lati dell'ala:

La figura riporta in modo schematico l'andamento della pressione sui due lati dell'ala, come una serie di frecce perpendicolari alla superficie dell'ala. La parte inferiore evidenzia con frecce blu la pressione che spinge l'ala verso l'alto. La parte superiore riporta con frecce rosse rivolte in senso contrario, quella che sembra una azione di risucchio verso l'alto. Questo perché la pressione inferiore è positiva, mentre quella superiore è negativa. Tutto questo sembra molto strano, dal momento che, come sappiamo bene, la pressione assoluta esercitata da un fluido è sempre positiva, al minimo nulla. La spiegazione è questa: per convenzione si riporta in questo tipo di diagramma la grandezza seguente:

[ mbox{CP} = frac{p-p_infty}{frac{\rho V_{infty}^2}{2}} ]

La grandezza (mbox{CP}), adimensionale è dunque il rapporto tra la pressione relativa ((p-p_infty)) ed il termine (frac{\rho V_{infty}^2}{2}) che si definisce pressione dinamica. Dove (p_infty) è la pressione dell'aria indisturbata alla quota dell'ala. Se avviene, come nella figura sopra, che la pressione

, variabile lungo il profilo superiore dell'ala, è inferiore a quella atmosferica, allora (mbox{CP}) risulta negativo. Per questo nel linguaggio convenzionale si dice che l'ala è risucchiata verso l'alto. Ma nella realtà le cose stanno diversamente: la pressione assoluta spinge l'aria contro l'ala su entrambi i lati dell'ala: sul lato superiore la pressione spinge verso il basso, mentre sul lato inferiore spinge verso l'alto. Tuttavia la spinta verso l'alto è mediamente superiore a quella verso il basso. Questo genera la portanza.

La spiegazione della portanza basata sul teorema di Bernoulli è parsa recentemente inadeguata a spiegare in modo completo il fenomeno. Una diversa spiegazione fa ricorso a concetti più elementari.

Facendo ancora riferimento all'ala posta in un tunnel del vento, è stato notato che il flusso dell'aria, entrante con velocità orizzontale (V_infty) , dopo aver lambito l'ala esce obliquamente verso il basso con velocita

. Perché questo avvenga è necessario che l'ala abbia esercitato sull'aria un forza per deviarla. Per il secondo principio della dinamica possiamo approssimare la forza agente sulla aria come (F = m frac{Delta V}{Delta t} ), dove e (Delta V) sono vettori.

Quindi

è un vettore proporzionale a (Delta V).

La figura sotto schematizza il ragionamento

Il triangolo delle velocità che vediamo nella figura permette di calcolare il vettore (Delta V). Dunque la forza

sarà una vettore parallelo a (Delta V). Ora per il terzo principio della dinamica la forza che l'aria esercita sull'ala è uguale e contraria e dunque sarà , di modulo R, la quale sarà parallela a (Delta V) e diretta in senso contrario, come appare nella figura.

Notiamo che le due ultime figure fanno riferimento ad un'ala posta nella galleria del vento o, che è lo stesso, all'ala di un aereo in volo orizzontale (si dice volo livellato): in questo caso la velocità relativa del vento, che è uguale e contraria alle velocità dell'aereo rispetto al vento lungo la sua rotta, è parallela al suolo. Di conseguenza la portanza è verticale (verso l'alto) e la resistenza è orizzontale.

Se tuttavia consideriamo un aereo che si muove obliquamente rispetto al suolo, ad es. in discesa, come riportato nella figura sotto

ci rendiamo conto che la portanza (per definizione perpendicolare al vento relativo) non è più verticale, ma obliqua. Così pure la resistenza.

Quali sono la variabili che definiscono portanza e resistenza? La teoria e l'esperienza dimostrano che F e D sono proporzionali alla densità dell'aria ed al quadrato della velocità relativa e si possono così esprimere:

[ \begin{equation} L = frac{1}{2}C_l \rho_infty SV^2_infty label{eq1}end{equation} ]

[ \begin{equation} D = frac{1}{2}C_d \rho_infty SV^2_infty label{eq2}end{equation} ]

dove:

( C_l = mbox{coefficiente di portanza} ,,,,,,,, C_d = mbox{coefficiente di resistenza} )

( S= mbox{superficie superiore dell'ala},,,,,,,, \rho_infty = mbox{densità dell'aria} )

Sempre con riferimento alla figura sopra abbiamo evidenziato con

e i vertici dell'ala, che si chiamano rispettivamente bordo di entrata (leading edge) e bordo di uscita (trailing edge). Si chiamano così perche' i filetti di aria in entrano in contatto con l'ala e cominciano a ruotarle attorno (sopra e sotto) seguendo il suo profilo, mentre in lasciano l'ala per formare una scia di coda. La linea che unisce i due bordi è definita corda. Se la prolunghiamo la corda fino ad incontrare il vento relativo, l'angolo (alpha) così ottenuto si chiama angolo di attacco (angle of attack). Si comprende intuitivamente che tale angolo è fondamentale per definire portanza e resistenza dell'ala. Ci aspettiamo infatti che al crescere di (alpha) l'aria venga deviata maggiormente verso il basso e questo dovrebbe far aumentare la portanza e la resistenza.

Misure sperimentali nella galleria del vento permettono di tracciare l'andamento di

e al variare dell'angolo di attacco (alpha). La forma delle curve dipende dalla forma dell'ala. Un esempio tipico e il seguente

Si vede che

nella parte iniziale cresce quasi linearmente fino a raggiungere un massimo, detto punto di stallo, dopo il quale crolla rapidamente.

Il fenomeno fisico che spiega lo stallo è il seguente. Idealmente le linee di flusso dell'aria che scorre lungo l'ala è di tipo laminare. Tuttavia al crescere di (alpha) si instaura un flusso turbolento in prossimità del bordo di uscita superiore. Aumentando ulteriormente (alpha) la zona turbolenta aumenta di ampiezza allargandosi lungo l'ala all'indietro ed i filetti si distaccano dall'ala. Al punto di stallo gran parte dell'ala si trova nella zona turbolenta e questo riduce fortemente il sostentamento. Un aereo che si trova oltre il punto di stallo precipita. E costringe il pilota ad una rischiosa manovra di picchiata per recuperare portanza. E' quindi intuibile che gli aerei possiedono una serie di segnali, luminosi e/o acustici per avvertire che ci si avvicina allo stallo. Nei grandi aerei esistono servocomandi automatici per impedire che si raggiunga lo stallo.

Il coefficiente di resistenza

ha un andamento ben diverso: decrescente per valori negativi o piccoli di (alpha) per poi aumentare. Questo andamento è spiegato come somma di due resistenze diverse. La resistenza indotta (dalla portanza), decrescente con (alpha), e la resistenza parassita, crescente con (alpha). La figura sopra riporta insieme, come di uso comune i due coefficienti, dove i valori vanno letti su due diverse scale. Di fatto il coefficiente di resistenza è di almeno un ordine di grandezza inferiore a quello di portanza. Infatti, l'ala è disegnata in modo da assicurare una grande portanza e possibilmente una piccola resistenza.

Se proviamo a riportare sulla stessa scala un esempio reale di ala ci rendiamo conto (figura seguente) dei diversi ordini di grandezza.

In questo esempio l'angolo di stallo è di circa 22°. Valori tipici degli aerei sono tra 15 e 20°. Ed il corrispondente valore di

per le ali non è superiore a 1,5.

Le condizioni operative di un aereo commerciale sono stabilite in modo di avere una determinata velocità di crociera in presenza un'elevata portanza e contemporaneamente una piccola resistenza. Per far questo si deve determinare il valore di α che renda massimo il rapporto

.

Risulta, dalle formule ((eqref{eq1})) e ((eqref{eq2})):

[ \begin{equation} frac{L}{D} = frac{C_l}{C_d} label{eq3}end{equation} ]

Con riferimento al diagramma precedente, se riportiamo

in funzione di (alpha) otteniamo un nuovo diagramma

Si vede quindi che esiste un valore di (alpha) (in questo esempio circa 5°) che rende massimo il rapporto e dunque assicura la massima efficienza. Questo valore è indipendente dalla velocità dell'aereo e dalla densità dell'aria (che dipende dalla quota di volo).

Viaggiando ad (alpha) di massima efficienza si minimizzano i consumi.

Equilibrio dell'aereo

Vediamo nella figura sotto ora come si realizza l'equilibrio dell'aereo quando vola orizzontalmente, in gergo livellato (straight and level), nelle condizioni di progetto. Perché si abbia portanza, è necessario che ci sia una velocità relativa e questo richiede un motore che spinga l'aereo in avanti esercitando una spinta (Thrust.)

Come è facile intuire la portanza equilibra il peso dell'aereo (

), mentre la spinta del motore.

(Thrust) eguaglia la resistenza. In simboli:

[ L = W ,,,,,,,,,, T = D ]

Si osserva che in condizioni normali l'aereo spesso vola con il suo asse longitudinale leggermente inclinato rispetto alla traiettoria. Nel disegno sotto si mostra una condizione di volo con il naso leggermente sollevato (nose-up). L'angolo formato tra l'asse dell'aereo e il piano orizzontale si chiama pitch attitude e solitamente è di qualche grado (nel disegno si è esagerata l'inclinazione per rendere l'idea). Quindi è lecito assumere che

sia praticamente orizzontale e pari a .

Notiamo inoltre che, aumentando l'angolo di attacco (alpha), il centro di pressione

(punto di applicazione delle forze e ) si sposta in avanti sull'ala. Tuttavia il peso è sempre applicato al baricentro dell'aereo. Succede allora che e non sono più allineati e questo genera un piccolo momento che tenderebbe a far ruotare l'aereo all'indietro. Si evita questo agendo sull'impennaggio di coda, facendo aumentare la sua (piccola) portanza (come appare nella figura successiva), la quale genera un momento equilibrante di segno contrario.

Un altro aspetto importante: la linea di corda dell'ala non è parallela all'asse longitudinale dell'aereo ma, di solito, leggermente inclinata all'indietro. L'angolo formato dalla corda (nella sezione di attacco alla fusoliera) rispetto all'asse dell'aereo è definito angolo di calettatura (incidence) come appare nella figura sotto

Quando l'aereo vola orizzontalmente, con l'asse longitudinale pure orizzontale, l'angolo di attacco coincide con l'angolo di calettatura e questo consente una portanza adeguata in talune situazioni.

Velocità di crociera

Torniamo ora a occuparci dell'angolo di attacco (alpha). Abbiamo visto che all'aumentare di (alpha) aumenta la portanza. Ed anche che, per l'equilibrio del volo, la portanza deve eguagliare il peso . Ora risulta:

[ \begin{equation} W=L=frac{1}{2} C_l \rho_infty SV^2_infty label{eq4}end{equation} ]

Dalla quale si ricava:

[ \begin{equation} V_infty = \sqrt{frac{2W}{C_l \rho_infty S}} label{eq5} end{equation} ]

Che individua la velocità di crociera.

Come abbiamo visto,

è funzione crescente di (alpha). Tanto più grande è l'angolo di attacco (alpha), tanto minore è la velocità di crociera in volo orizzontale.

La figura seguente riporta il nostro aereo in volo livellato a diversi angoli di attacco

Al crescere dell'angolo di attacco ((alpha_1 lt alpha_2 lt alpha_3)) la velocità decresce ((V_1 gt V_2 gt V_3)). Anche in questo disegno sono stati esagerati gli angoli per rendere chiaro il concetto.

Se per qualche motivo si decide di aumentare in misura non trascurabile la velocità, si riduce l'angolo di attacco. E' questa una manovra tipica per un piccolo aereo da turismo. In questo modo, tuttavia, non si opera più in condizioni di massima efficienza aerodinamica.

Un'alternativa migliore (se l'aereo lo consente) è salire di quota, dove la densità dell'aria (\rho_infty) è minore. Nella formula ((eqref{eq5})) vediamo che (\rho_infty) è a denominatore e pertanto la sua riduzione fa aumentare la velocità a parità di efficienza. In questo modo si riduce la resistenza. E' questa la manovra tipica di un grande aereo passeggeri.

Il diagramma sotto riporta la densità dell'atmosfera in funzione della quota.

Notiamo inoltre che il peso dell'aereo

non è certo una costante. Durante il volo si ha un notevole consumo di carburante, che riduce . Ad esempio un Boeing 737 che al decollo ha una massa di 50 t (che corrispondono a (mbox{peso} = 490 kN)), ha un consumo medio di circa (3 t/h) e quindi, dopo cinque ore di volo la sua massa (e quindi il suo peso ) si è ridotto del 30%. Il pilota deve salire di quota per mantenere la velocità di crociera. Se all'inizio volava a quota 8500 m, dovrà gradualmente salire a circa 11000 m.

Velocità di stallo

Tornando alla formula precedente ((eqref{eq5})) Possiamo determinare la velocità di stallo introducendo nella formula il coefficiente di portanza al punto di stallo, vale a dire il massimo :

[ V_{mbox{stallo}} = \sqrt{frac{2W}{C_{l,mbox{stallo}} \rho_infty S}} ]

E' questa la velocità minima di volo.

Ora succede che i grandi aerei passeggeri al decollo e in prossimità dell'atterraggio abbiano una velocità molto bassa. Per evitare lo stallo vengono azionati gli aerosostentatori (flaps) i quali possono essere delle appendici mobili che fuoriescono dal bordo di uscita per aumentare la superficie alare

. Un metodo alternativo prevede di far piegare verso il basso la parte finale del bordo di uscita (questo accorgimento fa aumentare il anche fino a 2,5). Con entrambi i sistemi si aumenta il denominatore nel termine sotto radice quadrata e in tal modo si riduce la velocità di stallo, permettendo all'aereo di manovrare in sicurezza anche a bassa velocità.

Conclusione

L'articolo ha trattato in forma introduttiva i principi base dell'aerodinamica dell'ala e qualche elemento sul moto dell'aereo. L'argomento, come si può ben immaginare, è molto ampio e complesso. In particolare si deve tener presente che un'analisi più puntuale dell'aerodinamica dell'aereo dovrebbe tenere conto anche del contributo (seppure limitato) della fusoliera alla portanza ed alla resistenza.

APPENDICE - TRATTAZIONE FORMALE DELLA PORTANZA E DELLA RESISTENZA

Nella figura seguente si evidenzia l'ala destra (vista dalla sezione di attacco alla fusoliera) di un aereo in volo livellato e su di essa un'areola infinitesima . Su tale areola il flusso d'aria circostante esercita uno sforzo ( vec{delta} = frac{dvec{F}}{dS} ) , vettore dato dal rapporto tra la forza infinitesima (dvec{F}) e l'areola . Lo sforzo può essere decomposto in due vettori:

• (vec{p}) perpendicolare a
  [math]dS[/math]
  (pressione)
• (vec{\tau}) tangente a
  [math]dS[/math]
  (sforzo tangenziale

Rivediamo la stessa situazione in disegno a due dimensioni, dove, in prossimità dell'areola

tracciamo gli assi coordinati e rispettivamente parallelo e perpendicolare a (V_infty). Il disegno riporta anche i versori (vettori unitari) e relativi alle due assi

Ovviamente (vec{p}) e (vec{\tau}) sono variabili lungo l'ala dell'aereo.

La portanza

e la resistenza si calcolano tenendo conto del contributo sia della pressione che dello sforzo tangenziale rispettivamente lungo gli assi e :

[ L = int (vec{p} cdot vec{j} + vec{\tau} cdot vec{j}) dS ]

[ D = int (vec{p} cdot vec{i} + vec{\tau} cdot vec{j}) dS ]

dove l'integrazione s'intende estesa all'intera superficie dell'ala (sopra + sotto) e dove i termini (vec{p} cdot vec{j}) e (vec{\tau} cdot vec{i}) indicano il prodotto scalare dei vettori.

Sappiamo che il prodotto scalare di due vettori è dato dal prodotto dei moduli dei vettori per il coseno dell'angolo compreso tra i vettori ed esplicitando si ottiene:

[ L = int [pcos(\theta) - \tau \sin(\theta)] dS]

[ D = -int [p\sin(\theta) + \tau cos(\theta)] dS]

Ora notiamo che (\tau) è molto piccolo rispetto a

(l'ala è stata progettata per avere alta portanza e bassa resistenza). Inoltre, essendo l'ala molto piatta per avere un profilo aerodinamico, anche l'angolo (\theta) è molto piccolo, cosi pure (\sin(\theta)). Quindi, nella formula che esprime , il termine (\tau\sin(\theta)) è trascurabile rispetto a (pcos(\theta)). E allora:

[ L = int pcos(\theta) dS]

In conclusione la portanza

dipende solo dalla distribuzione di pressione sulla superficie dell'ala.

La formula che definisce la resistenza

, invece, non può essere semplificata. Si conclude che dipende da due fattori: il termine di pressione (p\sin(\theta)) e il termine di attrito superficiale (\taucos(\theta)). Si tenga presente che l'attrito non è quello interfacciale tra l'aria e l'ala sul bordo dell'ala. Infatti l'aria aderisce all'ala e sul bordo la velocità è nulla. L'attrito si manifesta nello strato limite di aria (qualche centimetro) che forma come un cuscinetto tra l'ala e l'aria circostante indisturbata.

Riferimenti

• Michelangelo Fiaccavento- Aerotecnica- Hoepli
• Trevor Tom-The air pilot's manual-The aeroplane technical - Airlife Publishing ltd
• http://aerostudents.com/files/introductionToAerospaceEngineering/AerodynamicsForcesAndMoments.pdf

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