Determina i valori reali del parametro per i quali nell'equazione di incognita
[math]x[/math]
risultano verificate le condizioni indicate L'equazione
[math]x^2+(h-2)x+5/4-h=0[/math]
a)abbia una soluzione uguale a
[math]0[/math]
; b)abbia soluzioni reali e distinte c)abbia soluzioni reali con somma [math]4[/math]
d)abbia soluzioni reali il cui prodotto sia [math]-1[/math]
Svolgimento a)Deve risultare nullo il termine noto, cioè
[math]C=0[/math]
. Nel nostro caso [math]C=5/4-h[/math]
. Bisogna trovare per quali valori di [math]h[/math]
si verifica l'equazione [math]5/4-h=0[/math]
che si verifica per [math]h=5/4[/math]
. b)Risolviamo l'equazione di secondo grado
[math]x^2+(h-2)x+5/4-h=0[/math]
; [math](4x^2+4(h-2)x+5-4h)/4=0[/math]
; Moltiplichiamo ambo i membri per [math]4[/math]
[math]4x^2+4(h-2)x+5-4h=0[/math]
Deve risultare (Delta)/4>0 [math](\Delta)/4=(b/2)^2-ac=(2h-4)^2-(4 \cdot (5-4h))=4h^2+16-16h-20+16h=4h^2-4=4(h^2-1)[/math]
Quindi, affinchè l'equazione abbia soluzioni reali e distinte deve risultare [math]4(h^2-1)>0[/math]
, cioè [math]h^2-1>0 => h^2>1 => h1[/math]
. c)Deve risultare
[math]x_1+x_2=4[/math]
, ovvero [math]-B/A=4[/math]
Dove [math]B=h-2 ^^ A=1[/math]
. Pertanto [math]-B/A=-h+2=4 => h=2[/math]
. d)Deve risultare
[math]x_1x_2=-1[/math]
, ovvero [math]C/A=-1[/math]
. Nel nostro caso [math]C=5/4-h ^^ A=1[/math]
Quindi dobbiamo trovare i valori di [math]h[/math]
, per cui vale l'equazione [math]C/A=5/4-h=-1[/math]
; il m.c.m. è [math]4[/math]
[math](5-4h+4)/4=0[/math]
; Moltiplicando ambo i membri per [math]4[/math]
e semplificando, si ha [math]9-4h=0 => h=9/4[/math]
.
