Determina i valori reali del parametro per i quali nell’equazione di incognita $x$ risultano

Determina i valori reali del parametro per i quali nell’equazione di incognita $x$ risultano
verificate le condizioni indicate

L’equazione $x^2+(h-2)x+5/4-h=0$

a)abbia una soluzione uguale a $0$;
b)abbia soluzioni reali e distinte
c)abbia soluzioni reali con somma $4$
d)abbia soluzioni reali il cui prodotto sia $-1$


Svolgimento
a)Deve risultare nullo il termine noto, cioè $C=0$.
Nel nostro caso $C=5/4-h$.
Bisogna trovare per quali valori di $h$ si verifica l’equazione
$5/4-h=0$
che si verifica per $h=5/4$.

b)Risolviamo l’equazione di secondo grado
$x^2+(h-2)x+5/4-h=0$;
$(4x^2+4(h-2)x+5-4h)/4=0$;
Moltiplichiamo ambo i membri per $4$
$4x^2+4(h-2)x+5-4h=0$
Deve risultare (\Delta)/4>0
$(\Delta)/4=(b/2)^2-ac=(2h-4)^2-(4*(5-4h))=4h^2+16-16h-20+16h=4h^2-4=4(h^2-1)$
Quindi, affinchè l’equazione abbia soluzioni reali e distinte deve risultare
$4(h^2-1)>0$, cioè
$h^2-1>0 => h^2>1 => h<-1 vv h>1$.

c)Deve risultare $x_1+x_2=4$, ovvero $-B/A=4$
Dove $B=h-2 ^^ A=1$.
Pertanto
$-B/A=-h+2=4 => h=2$.

d)Deve risultare $x_1x_2=-1$, ovvero $C/A=-1$.
Nel nostro caso $C=5/4-h ^^ A=1$
Quindi dobbiamo trovare i valori di $h$, per cui vale l’equazione
$C/A=5/4-h=-1$;
il m.c.m. è $4$
$(5-4h+4)/4=0$;
Moltiplicando ambo i membri per $4$ e semplificando, si ha
$9-4h=0 => h=9/4$.

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