francesco.speciale
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Determina i valori reali del parametro per i quali nell'equazione di incognita

[math]x[/math]
risultano

verificate le condizioni indicate

5)L'equazione

[math](k+1)x^2-kx+1=0[/math]

a)abbia soluzioni reali distinte;

b)abbia soluzioni reali coincidenti;

c)abbia soluzioni reali inverse rispetto all'addizione;

d)abbia soluzioni reali inverse rispetto alla moltiplicazione.

Svolgimento

a)Deve risultare
[math]\Delta>0[/math]

[math]\Delta=b^2-4ac=(-k)^2-(4 \cdot (k+1) \cdot 1)=k^2-4k-4[/math]

Quindi

[math]\Delta>0 k^2-4k-4>0[/math]
.

Studiamo la disequazione di secondo grado

[math]k^2-4k-4>0[/math]

[math](\Delta)/4=(b/2)^2-ac=(-2)^2-((-4) \cdot 1)=4+4=8[/math]

[math]k_(1,2)=(-b/2+-\sqrt{(\Delta)/4})/a=(2+-\sqrt8) => k_1=2+\sqrt8 ^^ k_2=2-\sqrt8[/math]
.

Pertanto affinchè si abbiano due soluzioni reali e distinte deve risultare

[math]k2+\sqrt8[/math]

b)deve risultare

[math]\Delta=0[/math]
, ovvero
[math]k^2-4k-4=0[/math]
.

Dal punto a) possiamo già  concludere che l'equazione è verificata per
[math]k=2+-\sqrt8[/math]
.

c)Deve risultare

[math]x_1+x_2=1[/math]
, ovvero
[math]-B/A=1[/math]

Dove
[math]B=-k ^^ A=k+1[/math]

Pertanto bisogna trovare i valori di
[math]k[/math]
che verificano la seguente equazione

[math]-B/A=k/(k+1)=1[/math]

Risolviamo l'equazione di primo grado

[math]k/(k+1)=1[/math]
;

[math]k/(k+1)-1=0[/math]
;

[math](k-k-1)/(k+1)=0[/math]
;

[math]-1/(k+1)=0[/math]
.

L'equazione non può essere verificata per nessun valore di
[math]k[/math]
.

d)Deve quindi risultare

[math]x_1x_2=1[/math]
, ovvero
[math]C/A=1[/math]

Nella nostra equazione si ha:

[math]C=1 ^^ A=k+1[/math]

Vediamo per quali valori di
[math]k[/math]
, è verificata la seguente equazione

[math]1/(k+1)=1[/math]
;

[math]1/(k+1)-1=0[/math]
;

[math](1-k-1)/(k+1)=0[/math]
;

[math]-k/(k+1)=0 k=0[/math]
.