Determina i valori reali del parametro per i quali nell’equazione di incognita $x$ risultano

Determina i valori reali del parametro per i quali nell’equazione di incognita $x$ risultano
verificate le condizioni indicate

5)L’equazione $(k+1)x^2-kx+1=0$

a)abbia soluzioni reali distinte;
b)abbia soluzioni reali coincidenti;
c)abbia soluzioni reali inverse rispetto all’addizione;
d)abbia soluzioni reali inverse rispetto alla moltiplicazione.


Svolgimento
a)Deve risultare $\Delta>0$

$\Delta=b^2-4ac=(-k)^2-(4*(k+1)*1)=k^2-4k-4$
Quindi
$\Delta>0 <=> k^2-4k-4>0$.
Studiamo la disequazione di secondo grado

$k^2-4k-4>0$

$(\Delta)/4=(b/2)^2-ac=(-2)^2-((-4)*1)=4+4=8$
$k_(1,2)=(-b/2+-sqrt((\Delta)/4))/a=(2+-sqrt8) => k_1=2+sqrt8 ^^ k_2=2-sqrt8$.
Pertanto affinchè si abbiano due soluzioni reali e distinte deve risultare
$k<2-sqrt8 ^^ k>2+sqrt8$

b)deve risultare $\Delta=0$, ovvero $k^2-4k-4=0$.
Dal punto a) possiamo già concludere che l’equazione è verificata per $k=2+-sqrt8$.

c)Deve risultare $x_1+x_2=1$, ovvero $-B/A=1$
Dove $B=-k ^^ A=k+1$
Pertanto bisogna trovare i valori di $k$ che verificano la seguente equazione
$-B/A=k/(k+1)=1$
Risolviamo l’equazione di primo grado
$k/(k+1)=1$;
$k/(k+1)-1=0$;
$(k-k-1)/(k+1)=0$;
$-1/(k+1)=0$.
L’equazione non può essere verificata per nessun valore di $k$.

d)Deve quindi risultare $x_1x_2=1$, ovvero $C/A=1$
Nella nostra equazione si ha:
$C=1 ^^ A=k+1$
Vediamo per quali valori di $k$, è verificata la seguente equazione
$1/(k+1)=1$;
$1/(k+1)-1=0$;
$(1-k-1)/(k+1)=0$;
$-k/(k+1)=0 <=> k=0$.

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