Determina la lunghezza dei lati di un rettangolo di perimetro   $280 cm$  inscritto in una circonferenza di raggio  $50 cm$ .

Determina la lunghezza dei lati di un rettangolo di perimetro   $280 cm$  inscritto in una circonferenza di raggio  $50 cm$ .

 

rettangolo_inscritto

 

 

Svolgimento

Chiamiamo i lati del rettangolo con le incognite  $x$  e  $y$ :

$ AB = CD = x $

$AD = BC = y $

Sappiamo che il raggio della circonferenza, che corrisponde a metà diagonale del rettangolo, misura  $50 cm$ :

$AO = 50 cm       to      AC = 100 cm $

Inoltre, il perimetro del rettangolo misura   $280 cm$ :

$ P = AB + BC + CD + DA = a AB + 2 BC = 280 cm $

Possiamo ricavare la diagonale del rettangolo in funzione di  $x$ e  $y$ con il teorema di Pitagora:

$AC = sqrt(AB^2 + BC^2) $

Quindi abbiamo che:

$ P = 2x + 2y = 280 $

$ AC = sqrt(x^2 + y^2) = 100 $

Possiamo quindi impostare un sistema:

 

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
2x + 2y = 280 &\\
\sqrt{x^2 + y^2} = 100 &
\end{array}\right.
$$

Dividiamo tutto per 2 nella prima equazione:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
x + y = 140 &\\
\sqrt{x^2 + y^2} = 100 &
\end{array}\right.
$$

Ricaviamo un’incognita dalla prima equazione e risolviamo per sostituzione:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
x = 140 – y &\\
\sqrt{x^2 + y^2} = 100 &
\end{array}\right.
$$

Sapendo che la somma di due quadrati è sempre positiva, non è necessario porre le condizioni di esistenza.

Sostituiamo il valore di x nella seconda equazione:

$sqrt((140 – y)^2 + y^2) = 100 $

$sqrt(19600 + y^2  – 280y + y^2) = 100 $

$sqrt(19600 – 280y + 2y^2) = 100 $

Eleviamo tutto al quadrato:

$ (sqrt(19600 – 280y + 2y^2) )^2 = 100^2 $

$ 19600 – 280y + 2y^2 = 10000 $

$ 19600 – 280y + 2y^2 – 10000 = 0$

$ 2y^2 – 280y + 9600 = 0$

Dividiamo per 2:

$ y^2 – 140y + 4800 = 0$

Troviamo le soluzioni con la formula ridotta   $y = frac(-b/2 ± sqrt((b/2)^2 – ac))(a) $ :

$ y = frac(-frac(-140)(2) ± sqrt((frac(-140)(2))^2 – 4800))(1) = 70 ± sqrt(70^2 – 4800) = $

$ 70 ± sqrt(4900 – 4800) = 70 ± sqrt(100) = 70 ± 10  $

$ y_1 = 70 + 10 = 80       ,         y_2 = 70 – 10 = 60 $

 

Troviamo i corrispondenti valori di  $x$:

$ x_1 = 140 – 80 = 60       ,         x_2 = 140 – 60 = 80 $

 

 

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