[math]280 cm[/math]
inscritto in una circonferenza di raggio [math]50 cm[/math]
.
Svolgimento
Chiamiamo i lati del rettangolo con le incognite[math]x[/math]
e [math]y[/math]
:
[math] AB = CD = x [/math]
[math]AD = BC = y [/math]
Sappiamo che il raggio della circonferenza, che corrisponde a metà diagonale del rettangolo, misura
[math]50 cm[/math]
:
[math]AO = 50 cm \to AC = 100 cm [/math]
Inoltre, il perimetro del rettangolo misura
[math]280 cm[/math]
:
[math] P = AB + BC + CD + DA = a AB + 2 BC = 280 cm [/math]
Possiamo ricavare la diagonale del rettangolo in funzione di
[math]x[/math]
e [math]y[/math]
con il teorema di Pitagora:
[math]AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} [/math]
Quindi abbiamo che:
[math] P = 2x + 2y = 280 [/math]
[math] AC = \sqrt{x^2 + y^2} = 100 [/math]
Possiamo quindi impostare un sistema:
[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
2x + 2y = 280 &\
sqrt{x^2 + y^2} = 100 &
end{array}\right.
[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
2x + 2y = 280 &\
sqrt{x^2 + y^2} = 100 &
end{array}\right.
[math][/math]
Dividiamo tutto per 2 nella prima equazione:
[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
x + y = 140 &\
sqrt{x^2 + y^2} = 100 &
end{array}\right.
[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
x + y = 140 &\
sqrt{x^2 + y^2} = 100 &
end{array}\right.
[math][/math]
Ricaviamo un'incognita dalla prima equazione e risolviamo per sostituzione:
[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
x = 140 - y &\
sqrt{x^2 + y^2} = 100 &
end{array}\right.
[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
x = 140 - y &\
sqrt{x^2 + y^2} = 100 &
end{array}\right.
[math][/math]
Sapendo che la somma di due quadrati è sempre positiva, non è necessario porre le condizioni di esistenza.
Sostituiamo il valore di x nella seconda equazione:
[math]\sqrt{(140 - y)^2 + y^2} = 100 [/math]
[math]\sqrt{19600 + y^2 - 280y + y^2} = 100 [/math]
[math]\sqrt{19600 - 280y + 2y^2} = 100 [/math]
Eleviamo tutto al quadrato:
[math] (\sqrt{19600 - 280y + 2y^2} )^2 = 100^2 [/math]
[math] 19600 - 280y + 2y^2 = 10000 [/math]
[math] 19600 - 280y + 2y^2 - 10000 = 0[/math]
[math] 2y^2 - 280y + 9600 = 0[/math]
Dividiamo per 2:
[math] y^2 - 140y + 4800 = 0[/math]
Troviamo le soluzioni con la formula ridotta
[math]y = frac(-b/2 ± \sqrt{(b/2)^2 - ac})(a) [/math]
:
[math] y = frac(-frac(-140)(2) ± \sqrt{(frac(-140)(2))^2 - 4800})(1) = 70 ± \sqrt(70^2 - 4800) = [/math]
[math] 70 ± \sqrt{4900 - 4800} = 70 ± \sqrt(100) = 70 ± 10 [/math]
[math] y_1 = 70 + 10 = 80 , y_2 = 70 - 10 = 60 [/math]
Troviamo i corrispondenti valori di
[math]x[/math]
:
[math] x_1 = 140 - 80 = 60 , x_2 = 140 - 60 = 80 [/math]
