Le soluzioni dell'equazione di incognita
[math]x[/math]
:[math]4mx^2-2mx-2x+1=0[/math]
, con [math]m>0[/math]
sono le misure dei cateti di un triangolo rettangolo.
Determina
[math]m[/math]
in modo tale che l'ipotenusa misuri [math]2cm[/math]
e calcola, per tale valore di [math]m[/math]
, le misure dei due cateti. 
Svolgimento
[math]4mx^2-2mx-2x+1=0[/math]
;[math]4mx^2-2x(m+1)+1=0[/math]
;Risolviamo l'equazione di secondo grado
[math](Delta)/4=(b/2)^2-ac=(-m-1)^2-(4m \cdot 1)=m^2+1+2m-4m=m^2+1-2m=(m-1)^2[/math]
[math]x_(1,2)=(-b/2+-\sqrt{(Delta)/4})/a=(m+1+-\sqrt((m-1)^2))/(4m)=(m+1+-(m-1))/(4m) =>[/math]
[math]=> x_1=(m+1+m-1)/(4m)=1/2 ^^ x_2=(m+1-m+1)/(4m)=1/(2m)[/math]
. Indicando con
[math]y[/math]
l'ipotenusa, per il teorema di Pitagora, si ha:[math]y=\sqrt{(x_1)^2+(x_2)^2}=\sqrt((1/2)^2+(1/(2m))^2)=\sqrt(1/4+1/(4m^2))=\sqrt((m^2+1)/(4m^2))=1/(2m)\sqrt(m^2+1)[/math]
.Per ipotesi
[math]y=2cm[/math]
, quindi troviamo i valori di [math]m[/math]
che verificano tale equazione:[math]y=1/(2m)\sqrt{m^2+1}=2[/math]
, allora per [math]m!=0[/math]
si ha[math]\sqrt{m^2+1}=4m[/math]
;Elevando ambo i membri al quadrato
[math]m^2+1=16m^2[/math]
;[math]15m^2=1 => m_(1,2)=+-1/(\sqrt{15})[/math]
.La soluzione
[math]m_2=-1/(\sqrt{15})[/math]
non è accettabile perchè per ipotesi [math]m>0[/math]
.Quindi il valore di
[math]m[/math]
che cercavamo sarà: [math]m=1/(\sqrt{15})[/math]
.Inoltre
[math]x_1=1/2 ^^ x_2=1/(2m)[/math]
, indicano le misure di cateti del triangolo rettangolo;pertanto per sostituzione del parametro
[math]m[/math]
trovato, otterremo le misure effettive dei due cateti.Quindi
[math]x_1=1/2 ^^ x_2=(\sqrt{15})/2[/math]
