Le soluzioni dell’equazione di incognita $x$:

Le soluzioni dell’equazione di incognita $x$:
$4mx^2-2mx-2x+1=0$, con $m>0$
sono le misure dei cateti di un triangolo rettangolo.
Determina $m$ in modo tale che l’ipotenusa misuri $2cm$ e calcola, per tale valore di $m$, le misure dei due cateti.


trian_rettangolo.jpg 

Svolgimento
$4mx^2-2mx-2x+1=0$;
$4mx^2-2x(m+1)+1=0$;
Risolviamo l’equazione di secondo grado

$(Delta)/4=(b/2)^2-ac=(-m-1)^2-(4m*1)=m^2+1+2m-4m=m^2+1-2m=(m-1)^2$
$x_(1,2)=(-b/2+-sqrt((Delta)/4))/a=(m+1+-sqrt((m-1)^2))/(4m)=(m+1+-(m-1))/(4m) =>$
$=> x_1=(m+1+m-1)/(4m)=1/2 ^^ x_2=(m+1-m+1)/(4m)=1/(2m)$.

Indicando con $y$ l’ipotenusa, per il teorema di Pitagora, si ha:
$y=sqrt((x_1)^2+(x_2)^2)=sqrt((1/2)^2+(1/(2m))^2)=sqrt(1/4+1/(4m^2))=sqrt((m^2+1)/(4m^2))=1/(2m)sqrt(m^2+1)$.
Per ipotesi $y=2cm$, quindi troviamo i valori di $m$ che verificano tale equazione:
$y=1/(2m)sqrt(m^2+1)=2$, allora per $m!=0$si ha
$sqrt(m^2+1)=4m$;
Elevando ambo i membri al quadrato
$m^2+1=16m^2$;
$15m^2=1 => m_(1,2)=+-1/(sqrt(15))$.
La soluzione $m_2=-1/(sqrt(15))$ non è accettabile perchè per ipotesi $m>0$.
Quindi il valore di $m$ che cercavamo sarà: $m=1/(sqrt(15))$.
Inoltre $x_1=1/2 ^^ x_2=1/(2m)$, indicano le misure di cateti del triangolo rettangolo;
pertanto per sostituzione del parametro $m$ trovato, otterremo le misure effettive dei due cateti.
Quindi $x_1=1/2 ^^ x_2=(sqrt(15))/2$

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