Generalità sui triangoli
I triangoli sono una classe di poligoni che hanno tre lati e tre angoli.In base agli angoli un triangolo può essere classificato come: acutangolo se tutti gli angoli sono minori di 90°; rettangolo se ha un angolo di 90°, ottusangolo se ha un angolo maggiore di un angolo retto.
Se invece guardiamo il tipo di lati abbiamo un’altra classificazione: triangolo isoscele con due lati congruenti; triangolo equilatero con tutti i lati congruenti e quindi anche gli angoli; triangolo scaleno con tutti i lati disuguali.
Tutti i triangoli hanno altri elementi notevoli, che sono segmenti tranne gli assi:
- altezza: segmento che parte da un vertice e forma un angolo di 90° (angolo retto) con il lato opposto
- medians: segmento che congiunge un vertice con il punto medio del lato opposto
- bisettrice: segmento che divide l'angolo in due parti uguali e congiunge il vertice dell'angolo al lato opposto ad esso
- asse relativo a ciascun lato: retta perpendicolare al lato che passa per il punto medio
Triangoli rettangoli
Questo triangolo deve il suo nome all'angolo retto che si trova nel vertice comune ai due cateti.Per i triangoli rettangoli ci sono tre teoremi molto importanti che vengono ampiamente utilizzati per la risoluzione di problemi di varia natura.
Si tratta del teorema di Pitagora e dei due teoremi di Euclide. Tutti e tre i teoremi affermano delle equivalenze tra superfici di altri poligoni, ovvero tra quadrati e rettangoli che vengono costruiti sui lati del triangolo rettangolo: i due cateti e l’ipotenusa.
Triangoli rettangoli particolari sono quelli che hanno i due angoli acuti di 30° e 60°. Questo tipo di triangolo è la metà di un triangolo equilatero. Se gli angoli acuti sono congruenti e quindi valgono entrambi 45°, allora il triangolo è visto come la metà di un quadrato. In entrambo questi casi ci sono delle particolari relazione tra cateti e ipotenusa.
Enunciati dei teoremi di Pitagora ed Euclide.
Teorema di Pitagora: Il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti.Primo teorema di Euclide: in un triangolo rettangolo il quadrato costruito su ciascun cateto è equivalente al rettangolo costruito sull’ipotenusa che ha per lati l'ipotenusa e la proiezione del cateto considerato su di essa.
Secondo teorema di Euclide: in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo le cui dimensioni sono le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa.
Teoremi di Euclidenella forma proporzionale.
Primo: In un triangolo rettangolo ciascun cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la proiezione del cateto sull’ipotenusa.
Secondo: l'altezza del triangolo rettangolo relativa all'ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa stessa.
Problemi di geometria e sistemi di equazioni
Un sistema di equazioni è un insieme di due o più equazioni in cui compaiono le stesse incognite, per le quali ci chiediamo quali sono le soluzioni comuni. Le soluzioni comuni a tutte le equazioni sono le soluzioni del sistema. Il sistema si dice impossibile se non ha soluzione, determinato se ha un numero finito di soluzioni, indeterminato se ha un numero infinito di soluzioni.Si definisce sistema lineare quello formato solo da equazioni di primo grado. Il grado di un sistema di equazioni algebriche intere si ottiene come prodotto dei gradi delle singole equazioni che lo compongono.
Quando risolviamo un problema dobbiamo scrivere tante equazioni quante sono le incognite.
Per approfondimenti sui sistemi di equazioni vedi qui
Applicazione numerica
Testo del problema: l’ipotenusa di un triangolo rettangolo misura 13 cm e un cateto supera l’altro di 5 cm. Determinare la lunghezza dei due cateti, il perimetro e l’area del triangolo.Svolgimento
Leggendo con attenzione il testo del problema ci rendiamo conto che conosciamo un unico dato numerico, la lunghezza dell’ipotenusa. L’altra informazione fornisce la relazione che lega i due cateti: un cateto supera l'altro di 5 centimetri.
Le incognite del problema sono due: le misure dei due cateti. Abbiamo bisogno di due equazioni per costruire il nostro sistema.
Nel triangolo in figura, a è la misura dell’ipotenusa, b e c sono le misure dei due cateti. Sappiamo che:
- [math]a=13 cm[/math]
- [math]c=b+5 cm[/math]
Abbiamo una prima equazione per il sistema, dobbiamo ora utilizzare l'altra informazione quella sulla misura che ci è stata fornita per l'ipotenusa. Possiamo applicare il teorema di Pitagora in modo tale da legare il dato noto alle due incognite.
In figura la misura dell’ipotenusa è indicata con a e per il teorema si ha:
Sostituendo il valore numerico ad a, e le variabili scelte per i due cateti si ha:
Svolgiamo anche il quadrato al primo membro:
Unendo le due equazioni abbiamo il nostro sistema:
ora dobbiamo sostituire nella prima equazione l’espressione di x, in modo da far comparire una sola incognita:
svolgiamo il quadrato di binomio:
raccogliamo i termini simili:
riduciamo i coefficienti della prima equazione del sistema, e poi ne calcoliamo il
Risolviamo l'equazione di secondo grado
il
Scriviamo la formula risolutiva e procediamo:
Ricordiamo che y è una misura di lunghezza, perciò escludiamo la soluzione negativa. Sostituendo il valore positivo nella seconda equazione del sistema abbiamo la misura dell’altro cateto.
Note le misure dei tre lati possiamo calcolare il perimetro facendone la somma:
L’area del triangolo è data dal semiprodotto della base per l’altezza.
Nel triangolo rettangolo i due cateti sono perpendicolari tra loro, perciò, l'area si può calcolare come semiprodotti delle misure dei due cateti:
Per approfondimenti sui triangoli rettangoli e altre regole vedi qua
