Il perimetro di un parallelogramma è
[math]80a[/math]
e la somma dei quadrati dei lati è
[math] 1700 a^2 [/math]
; determina le lunghezze dei lati del parallelogramma e quelle delle altezze sapendo che la differenza tra i quadrati delle altezze è
[math]256 a^2[/math]
.
Verifica che la diagonale minore è altezza del parallelogramma.
Svolgimento
Per prima cosa, chiamiamo con
[math]x[/math]
e
[math]y[/math]
i lati del parallelogramma:
[math] AB = CD = x [/math]
[math] BC = AD = y [/math]
Analizziamo i dati fornitici dal problema:
[math] AB + BC + CD + DA = 2 AB + 2 BC = 80 a [/math]
[math] AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = 2 AB^2 + 2 BC^2 = 1700 a^2 [/math]
Possiamo già impostare un sistema con le prime due equazioni:
[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
2x + 2y = 80 a &\
2x^2 + 2y^2 = 1700 a^2 &
end{array}\right.
[math][/math]
Dividiamo tutto per due:
[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
x + y = 40 a &\
x^2 + y^2 = 850 a^2 &
end{array}\right.
[math][/math]
Ricaviamo un'incognita dalla prima equazione e risolviamo per sostituzione:
[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
x = 40 a - y &\
x^2 + y^2 = 850 a^2 &
end{array}\right.
[math][/math]
Sostituiamo nella seconda equazione:
[math] (40 a - y)^2 + y^2 = 850 a^2 [/math]
[math] 1600 a^2 + y^2 - 80 ay + y^2 = 850 a^2 [/math]
[math] 2y^2 - 80 ay + 750 a^2 = 0 [/math]
[math] y^2 - 40 ay + 375 a^2 = 0 [/math]
Troviamo le soluzioni con la formula ridotta
[math] y = frac(-b/2 ± \sqrt{(b/2)^2 - ac})(a) [/math]
:
[math] k = frac(-(-40 a)/2 ± \sqrt{((-40 a)/2)^2 - 375 a^2})(1) = 20 a ± \sqrt(400a^2 - 375 a^2) = [/math]
[math] 20 a ± \sqrt{25a^2} = 20a ± 5a [/math]
[math] y_1 = 20a + 5a = 25a , y_2 = 20a - 5a = 15a [/math]
Troviamo ora i rispettivi valori di x:
[math] x_1 = 40a - 25a = 15a , x_2 = 40a - 15a = 25a [/math]
Sapendo che l'area del parallelogramma si trova moltiplicando la base per l'altezza; possiamo quindi scrivere:
[math] A_(ABCD) = AH \cdot AH = BC = AK [/math]
dove
[math]AK[/math]
è l'altezza relativa al lato
[math]BC[/math]
; inoltre sappiamo che:
[math] AK^2 - AH^2 = 256a^2 [/math]
Possiamo quindi impostare un sistema:
[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
25 a · AH = 15 a · AK &\
AK^2 - AH^2 = 256 a^2 &
end{array}\right.
[math][/math]
Ricaviamo dalla prima equazione uno dei due lati, e risolviamo il sistema per sostituzione;
[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
AH = frac{15 a · AK}{25 a} &\
AK^2 - AH^2 = 256 a^2 &
end{array}\right.
[math][/math]
Sostituiamo nella seconda equazione:
[math] AK^2 - (frac(15a \cdot AK)(25a) )^2 = 256 a^2 [/math]
[math] AK^2 - frac(225a^2 \cdot AK^2)(625a^2) = 256 a^2 [/math]
[math] 625a^2 \cdot AK^2 - 225a^2 \cdot AK^2 = 160000 a^4 [/math]
[math] 400 a^2 \cdot AK^2 = 160000 a^4 [/math]
[math] AK^2 = frac(160000 a^4)(400 a^2) = 400 a^2 \to AK = 20 a[/math]
Troviamo quindi il valore di
[math]AH[/math]
:
[math] AH = frac(15a \cdot 20a)(25a) = 12 a [/math]
Con il teorema di Pitagora possiamo verificare che la diagonale minore è altezza del parallelogramma:
[math] AC = \sqrt{AB^2 - CB^2} = \sqrt((25a)^2 - (15a)^2) = \sqrt(625a^2 - 225a^2) = [/math]
[math] \sqrt{400 a^2} = 20 a [/math]
