Il perimetro di un parallelogramma è  $80a$  e la somma dei quadrati dei lati è   $ 1700 a^2 $  ; determina le lunghezze dei lati del parallelogramma e quelle delle altezze …

Il perimetro di un parallelogramma è  $80a$  e la somma dei quadrati dei lati è   $ 1700 a^2 $  ; determina le lunghezze dei lati del parallelogramma e quelle delle altezze sapendo che la differenza tra i quadrati delle altezze è   $256 a^2$ .

Verifica che la diagonale minore è altezza del parallelogramma.

 

parallelogramma

 

 

Svolgimento

Per prima cosa, chiamiamo con  $x$  e  $y$  i lati del parallelogramma:

$ AB = CD = x $

$ BC = AD = y $

Analizziamo i dati fornitici dal problema:

$ AB + BC + CD + DA = 2 AB + 2 BC = 80 a $

$ AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = 2 AB^2 + 2 BC^2 = 1700 a^2 $

Possiamo già impostare un sistema con le prime due equazioni:

 

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
2x + 2y = 80 a &\\
2x^2 + 2y^2 = 1700 a^2 &
\end{array}\right.
$$

Dividiamo tutto per due:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
x + y = 40 a &\\
x^2 + y^2 = 850 a^2 &
\end{array}\right.
$$

Ricaviamo un’incognita dalla prima equazione e risolviamo per sostituzione:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
x  = 40 a  – y &\\
x^2 + y^2 = 850 a^2 &
\end{array}\right.
$$

Sostituiamo nella seconda equazione:

$ (40 a – y)^2 + y^2 = 850 a^2 $

$ 1600 a^2 + y^2 – 80 ay + y^2 = 850 a^2 $

$ 2y^2 – 80 ay + 750 a^2 = 0 $

$ y^2 – 40 ay + 375 a^2 = 0 $

Troviamo le soluzioni con la formula ridotta   $ y = frac(-b/2 ± sqrt((b/2)^2 – ac))(a) $:

$ k = frac(-(-40 a)/2 ± sqrt(((-40 a)/2)^2 – 375 a^2))(1) = 20 a ± sqrt(400a^2 – 375 a^2) = $

$ 20 a ± sqrt(25a^2) =  20a ± 5a $

$ y_1 = 20a + 5a = 25a       ,       y_2 = 20a – 5a = 15a $

Troviamo ora i rispettivi valori di x:

$ x_1 = 40a – 25a = 15a       ,       x_2 = 40a – 15a = 25a $

Sapendo che l’area del parallelogramma si trova moltiplicando la base per l’altezza; possiamo quindi scrivere:

$ A_(ABCD) = AH * AH = BC = AK $

dove  $AK$  è l’altezza relativa al lato  $BC$ ; inoltre sappiamo che:

$ AK^2 – AH^2 = 256a^2 $

Possiamo quindi impostare un sistema:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
25 a · AH = 15 a · AK &\\
AK^2 – AH^2 = 256 a^2 &
\end{array}\right.
$$

Ricaviamo dalla prima equazione uno dei due lati, e risolviamo il sistema per sostituzione;

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
AH = \frac{15 a · AK}{25 a} &\\
AK^2 – AH^2 = 256 a^2 &
\end{array}\right.
$$

Sostituiamo nella seconda equazione:

$ AK^2 – (frac(15a * AK)(25a) )^2 = 256 a^2 $

$ AK^2 – frac(225a^2 * AK^2)(625a^2) = 256 a^2 $

$ 625a^2 *AK^2 – 225a^2 * AK^2 = 160000 a^4 $

$ 400 a^2 *AK^2 = 160000 a^4 $

$ AK^2 =  frac(160000 a^4)(400 a^2) = 400 a^2        to     AK = 20 a$

Troviamo quindi il valore di  $AH$ :

$ AH = frac(15a * 20a)(25a) = 12 a $

Con il teorema di Pitagora possiamo verificare che la diagonale minore è altezza del parallelogramma:

$ AC = sqrt(AB^2 – CB^2) = sqrt((25a)^2 – (15a)^2) = sqrt(625a^2 – 225a^2) = $

$ sqrt(400 a^2) = 20 a  $

 

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