[math]558cm ^2[/math]
e un lato di [math]18cm[/math]
. Lo si vuole trasformare in un nuovo rettangolo c accorciando il lato più lungo di una quantità [math]5x[/math]
e allungando l'altro di una quantità [math]4x[/math]
in modo che il nuovo rettangolo abbia l'area di [math]228cm^2[/math]
. Determina la quantità [math]x[/math]
.
Risoluzione
Per prima cosa, conoscendo l'area ed un lato del rettangolo, possiamo determinare la lunghezza dell'altro lato:
[math] \bar{AB} = frac(A_(ABCD))(\bar{BC}) = frac(558 cm^2)(18 cm) = 31 cm [/math]
Per creare il nuovo rettangolo, dobbiamo accorciare il lato più lungo di
[math]ABCD[/math]
( [math] \bar{AB} = 31 cm [/math]
) di una quantità pari a [math]5x[/math]
, e allungare il lato più corto ( [math] \bar{BC} = 18 cm [/math]
) di una quantità pari a [math]4x[/math]
, in modo tale che la sua area, cioè il prodotto dei due lati, sia pari a [math]228 cm^2[/math]
.Possiamo impostare il problema in questo modo, chiamando il nuovo rettangolo
[math]A'B'C'D' [/math]
:
[math] \bar{A'B'} = \bar{AB} - 5x [/math]
[math] \bar{B'C'} = \bar{BC} + 4x [/math]
Quindi:
[math] \bar{A'B'} = 31 - 5x [/math]
[math] \bar{B'C'} = 18 + 4x [/math]
Sapendo che
[math] A_(A'B'C'D') = \bar{A'B'} \cdot \bar{B'C'} [/math]
, possiamo impostare l'equazione:
[math] (31 - 5x)(18 + 4x) = 228 [/math]
[math] 558 - 90x + 124x - 20x^2 = 228 [/math]
[math] - 20x^2 + 34 x - 330 = 0 [/math]
[math] 10x^2 - 17 x + 165 = 0 [/math]
Troviamo le soluzioni con la formula
[math] x = frac(- b ± \sqrt{b^2 - 4ac})(2a) [/math]
[math] x = frac(- (-17) ± \sqrt{(-17)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 165})(2 \cdot 10) = frac(17 ± \sqrt(289- 6600))(20) = [/math]
[math] frac(17 ± \sqrt{6889})(20) = frac(17 ± 83)(20) [/math]
[math] x = frac(17 + 83)(20) = frac(100)(20) = 5 [/math]
[math] x = frac(17 - 83)(20) = - frac(66)(20) = - (33)/(20) [/math]
Dato che il problema chiede di allungare e accorciare i lati del rettangolo, dobbiamo scartare il valore negativo di
[math]x[/math]
; accettiamo solo [math]x=5[/math]
.
