Il rettangolo ha l’area di $558cm ^2$ e un lato di $18cm$. Lo si vuole trasformare in un nuovo rettangolo….

Il rettangolo ha l’area di   $558cm ^2$  e un lato di $18cm$. Lo si vuole trasformare in un nuovo rettangolo c accorciando il lato più lungo di una quantità  $5x$  e allungando l’altro di una quantità  $4x$  in modo che il nuovo rettangolo abbia l’area di  $228cm^2$ .   Determina la quantità  $x$.

 

 

Risoluzione

Per prima cosa, conoscendo l’area ed un lato del rettangolo, possiamo determinare la lunghezza dell’altro lato:

$ \bar{AB} = frac(A_(ABCD))(\bar{BC}) = frac(558 cm^2)(18 cm) = 31 cm $

Per creare il nuovo rettangolo, dobbiamo accorciare il lato più lungo di  $ABCD$  ( $ \bar{AB} = 31 cm $ )  di una quantità pari a   $5x$,   e allungare il lato più corto  ( $ \bar{BC} = 18 cm $ ) di una quantità pari a  $4x$, in modo tale che la sua area, cioè il prodotto dei due lati, sia pari a  $228 cm^2$  .

Possiamo impostare il problema in questo modo, chiamando il nuovo rettangolo $A’B’C’D’ $:

$ \bar{A’B’} = \bar{AB} – 5x $

$ \bar{B’C’} = \bar{BC} + 4x $

Quindi:

$ \bar{A’B’} = 31 – 5x $

$ \bar{B’C’} = 18 + 4x $

Sapendo che   $  A_(A’B’C’D’) = \bar{A’B’} * \bar{B’C’} $  , possiamo impostare l’equazione:

$ (31 – 5x)(18 + 4x) = 228 $

$ 558 – 90x + 124x – 20x^2 = 228 $

$ – 20x^2 + 34 x – 330 = 0 $

$ 10x^2 – 17 x + 165 = 0 $

Troviamo le soluzioni con la formula   $ x = frac(- b ± sqrt(b^2 – 4ac))(2a) $

$ x = frac(- (-17) ± sqrt((-17)^2 – 4*10*165))(2*10) = frac(17 ± sqrt(289- 6600))(20) = $

$ frac(17 ± sqrt(6889))(20) = frac(17 ± 83)(20) $

$ x = frac(17 + 83)(20) = frac(100)(20) = 5 $

$ x = frac(17 – 83)(20) = – frac(66)(20) = – (33)/(20) $

Dato che il problema chiede di allungare e accorciare i lati del rettangolo, dobbiamo scartare il valore negativo di  $x$ ; accettiamo solo  $x=5$.

 

 

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