In un rettangolo la somma dell’altezza e di  $1/3$  della base è  $15 cm$; determina la lunghezza del perimetro, sapendo che l’area è di   $168 cm^2$ .

In un rettangolo la somma dell’altezza e di  $1/3$  della base è  $15 cm$; determina la lunghezza del perimetro, sapendo che l’area è di   $168 cm^2$ .

 

rettangolo

 

 

Svolgimento

Chiamiamo i lati del triangolo con le incognite  $x$  e  $y$:

$AD = BC = x$

$AB = CD = y $

 

Dalle informazioni forniteci dal problema possiamo dedurre che:

$AD + 1/3 AB = 15 cm $

$AB * BC = 168 cm^2 $

Cioè:

$ x + 1/3 y = 15  $

$ y * x = 168 $

Impostiamo un sistema:

 

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
x +\frac{1}{3} y = 15 &\\
xy = 168 &
\end{array}\right.
$$

Ricaviamo x dalla prima equazione e risolviamo per sostituzione:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
x  = 15 – \frac{1}{3} y &\\
xy = 168 &
\end{array}\right.
$$

Lavoriamo sulla seconda equazione:

$ (15 – 1/3 y) * y = 168 $

$ 15y – 1/3 y^2  = 168 $

$ 45y – y^2  – 504 = 0 $

$ y^2 – 45y + 504 = 0 $

Troviamo le soluzioni con la formula   $ y = frac(-b ± sqrt(b^2 – 4ac))(2a) $ :

$ y = frac(-(-45) ± sqrt((-45)^2 – 4*504))(2) = frac(45 ± sqrt(2025 – 2016))(2) = $

$ frac(45 ± sqrt(9))(2) = frac(45 ± 3)(2)  $

$ y_1 = frac(45 + 3)(2) = 24       ,         y_2 = frac(45 – 3)(2) =  21 $

Troviamo i rispettivi valori di x:

$ x_1 = 15 – 1/3 * 24 = 7       ,         x_2 = 15 – 1/3 * 21 = 8 $

Determiniamo la lunghezza del perimetro nei due casi:

$ P_1 = AB + BC + CD + DA = 2 AB + 2 BC = 2 * 24 + 2 * 7 = 62 cm $

$ P_2 = AB + BC + CD + DA = 2 AB + 2 BC = 2 * 21 + 2 * 8 = 58 cm $

 

 

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