Un triangolo isoscele ha un’area di   $168 m^2$  e l’altezza relativa a uno dei suoi lati obliqui è  $1344cm$ . Determina la base del triangolo e l’altezza relativa alla base.

Un triangolo isoscele ha un’area di   $168 m^2$  e l’altezza relativa a uno dei suoi lati obliqui è  $1344cm$ . Determina la base del triangolo e l’altezza relativa alla base.

 

triangolo_isoscele

 

 

Svolgimento

Prima di tutto, trasformiamo i dati tutti nella stessa unità di misura:

$BK = 1344 cm = 13,44 m = frac(1344)(100) m = frac(336)(25) m $

Chiamiamo con le incognite  $x$  e  $y$  rispettivamente metà base del triangolo e l’altezza relativa alla base:

$BH = x$

$AH = y$

In questo caso, quindi, l’area del triangolo vale:

$ A = frac(BC * AH)(2) = frac(xy)(2) $

Possiamo trovare la misura del lato obliquo in funzione delle due incognite con i teorema di Pitagora:

$ AB = sqrt(AH^2 + BH^2) = sqrt(x^2 + y^2) $

Sapendo che il triangolo ha un’area di  $168 m^2$  e che l’altezza relativa a uno dei suoi lati obliqui è   $frac(336)(25) m $, con la formula inversa dell’area possiamo ricavare il lato obliquo:

$ A = frac(AC * BK)(2)      to     AC = frac(2A)(BK) $

$ AC = frac(2A)(BK) = frac(2 * 168)(frac(336)(25)) = 25 m $

Quindi sappiamo che:

$ frac(xy)(2) = 168        to      xy = 336 $

$ sqrt(x^2 + y^2) = 25 $

Possiamo quindi impostare il sistema:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
\frac{xy}{2} = 168 &\\
\sqrt{x^2 + y^2} = 25 &
\end{array}\right.
$$

Ricaviamo un’incognita dalla prima equazione e risolviamo per sostituzione:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
x = \frac{336}{y} &\\
\sqrt{x^2 + y^2} = 25 &
\end{array}\right.
$$

 

Sapendo che la somma di due quadrati è sempre positiva, non è necessario porre le condizioni di esistenza.

Lavoriamo sulla seconda equazione:

$ sqrt((frac(336)(y))^2 + y^2) = 25$

$ sqrt(frac(112896)(y^2) + y^2) = 25$

Calcoliamo il minimo comune multiplo all’interno della radice:

$ sqrt(frac(112896 + y^4)(y^2)) = 25$

Eleviamo al quadrato:

$ (sqrt(frac(112896 + y^4)(y^2)))^2 = 25^2 $

$ frac(112896 + y^4)(y^2) = 625 $

$ 112896 + y^4 = 625y^2 $

$ y^4 – 625y^2 + 112896 = 0 $

Troviamo le soluzioni con la formula   $ y = frac(-b  ± sqrt(b^2 – 4ac))(2a) $ :

$ y^2 = frac(-(-625) ± sqrt((-625)^2 – 4*112896))(2) = frac(625 ± sqrt(277729))(2) = $

$ frac(625 ± 527)(2)  $

$ y_1 ^2 = frac(625 + 527)(2) = 576       ,         y_2 ^2 = frac(625 – 527)(2) =  49 $

Da cui si ricava:

$ y_1 = sqrt(576) = 24       ,         y_2 = sqrt(49) = 7 $

Troviamo i corrispondenti valori di  $x$ :

$ x_1 = frac(336)(24) = 14       ,         x_2 = frac(336)(7) = 48 $

 

 

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