[math]168 m^2[/math]
e l'altezza relativa a uno dei suoi lati obliqui è [math]1344cm[/math]
. Determina la base del triangolo e l'altezza relativa alla base.
Svolgimento
Prima di tutto, trasformiamo i dati tutti nella stessa unità di misura:
[math]BK = 1344 cm = 13,44 m = frac(1344)(100) m = frac(336)(25) m [/math]
Chiamiamo con le incognite
[math]x[/math]
e [math]y[/math]
rispettivamente metà base del triangolo e l'altezza relativa alla base:
[math]BH = x[/math]
[math]AH = y[/math]
In questo caso, quindi, l'area del triangolo vale:
[math] A = frac(BC \cdot AH)(2) = frac(xy)(2) [/math]
Possiamo trovare la misura del lato obliquo in funzione delle due incognite con i teorema di Pitagora:
[math] AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt(x^2 + y^2) [/math]
Sapendo che il triangolo ha un'area di
[math]168 m^2[/math]
e che l'altezza relativa a uno dei suoi lati obliqui è [math]frac(336)(25) m [/math]
, con la formula inversa dell'area possiamo ricavare il lato obliquo:
[math] A = frac(AC \cdot BK)(2) \to AC = frac(2A)(BK) [/math]
[math] AC = frac(2A)(BK) = frac(2 \cdot 168)(frac(336)(25)) = 25 m [/math]
Quindi sappiamo che:
[math] frac(xy)(2) = 168 \to xy = 336 [/math]
[math] \sqrt{x^2 + y^2} = 25 [/math]
Possiamo quindi impostare il sistema:
[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
frac{xy}{2} = 168 &\
sqrt{x^2 + y^2} = 25 &
end{array}\right.
[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
frac{xy}{2} = 168 &\
sqrt{x^2 + y^2} = 25 &
end{array}\right.
[math][/math]
Ricaviamo un'incognita dalla prima equazione e risolviamo per sostituzione:
[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
x = frac{336}{y} &\
sqrt{x^2 + y^2} = 25 &
end{array}\right.
[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
x = frac{336}{y} &\
sqrt{x^2 + y^2} = 25 &
end{array}\right.
[math][/math]
Sapendo che la somma di due quadrati è sempre positiva, non è necessario porre le condizioni di esistenza.
Lavoriamo sulla seconda equazione:
[math] \sqrt{(frac(336)(y))^2 + y^2} = 25[/math]
[math] \sqrt{frac(112896)(y^2) + y^2} = 25[/math]
Calcoliamo il minimo comune multiplo all'interno della radice:
[math] \sqrt{frac(112896 + y^4)(y^2)} = 25[/math]
Eleviamo al quadrato:
[math] (\sqrt{frac(112896 + y^4)(y^2)})^2 = 25^2 [/math]
[math] frac(112896 + y^4)(y^2) = 625 [/math]
[math] 112896 + y^4 = 625y^2 [/math]
[math] y^4 - 625y^2 + 112896 = 0 [/math]
Troviamo le soluzioni con la formula
[math] y = frac(-b ± \sqrt{b^2 - 4ac})(2a) [/math]
:
[math] y^2 = frac(-(-625) ± \sqrt{(-625)^2 - 4 \cdot 112896})(2) = frac(625 ± \sqrt(277729))(2) = [/math]
[math] frac(625 ± 527)(2) [/math]
[math] y_1 ^2 = frac(625 + 527)(2) = 576 , y_2 ^2 = frac(625 - 527)(2) = 49 [/math]
Da cui si ricava:
[math] y_1 = \sqrt{576} = 24 , y_2 = \sqrt(49) = 7 [/math]
Troviamo i corrispondenti valori di
[math]x[/math]
:
[math] x_1 = frac(336)(24) = 14 , x_2 = frac(336)(7) = 48 [/math]
