In un triangolo rettangolo un cateto è   $8 cm$  e il triplo dell’altro cateto supera di   $28 cm$  l’ipotenusa. Trova il perimetro e l’area del triangolo.

In un triangolo rettangolo un cateto è   $8 cm$  e il triplo dell’altro cateto supera di   $28 cm$  l’ipotenusa. Trova il perimetro e l’area del triangolo.

 

triangolo_rettangolo

 

 

Svolgimento

Chiamiamo con le incognite  $x$  e  $y$  l’ipotenusa del triangolo e l’altro cateto; sappiamo quindi che:

$AB = x $

$BC = y $

$AC = 8 cm $

Sapendo che triplo del cateto  $BC$  supera di  $28 cm$  l’ipotenusa, possiamo scrivere che:

$ 3 BC = AB + 28 cm $

Quindi:

$ 3y = x + 28 $

Utilizzando il teorema di Pitagora, possiamo ricavare un’altra equazione:

$ BC = sqrt(AB^2 – AC^2) $

$ y = sqrt(x^2 – 8^2) = sqrt(x^2 – 64) $

Impostiamo il sistema:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
3y =  x + 28 &\\
y = \sqrt{x^2 – 64} &
\end{array}\right.
$$

Determiniamo le condizioni di esistenza:

$C.E.$

$x^2 – 64 ≥ 0$

Passiamo all’equazione associata:

$x^2 – 64 = 0     to     x^2 = 64     to      x = ± 8 $

Poiché la disequazione è maggiore o uguale a zero, prendiamo come soluzioni gli intervalli esterni alle radici:

$ x ≤ – 8     ∨     x ≥ 8 $

Ricaviamo, quindi,  la  $y$  dalla prima equazione e risolviamo con il metodo del confronto:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
y = \frac{ x + 28}{3} &\\
y = \sqrt{x^2 – 64} &
\end{array}\right.
$$

$ frac(x + 28)(3) = sqrt(x^2 – 64) $

$ (frac(x + 28)(3))^2 = (sqrt(x^2 – 64))^2 $

$ frac(x^2 + 784 + 56x )(9) = x^2 – 64 $

Calcoliamo il minimo comune multiplo:

$ x^2 + 784 + 56x = 9x^2 – 576 $

$ x^2 + 784 + 56x – 9x^2 + 576 = 0 $

$ – 8 x^2 + 56x + 1360 = 0 $

Dividiamo tutto per – 8:

$ x^2 – 7x – 170 = 0 $

Troviamo le soluzioni con la formula   $ x = frac(-b ± sqrt(b^2 – 4ac))(2a) $ :

$ x = frac(-(-7) ± sqrt((-7)^2 – 4*(-170)))(2) = frac(7 ± sqrt(49 + 680))(2) = $

$ frac(7 ± sqrt(729))(2) = frac(7 ± 27)(2)  $

$ x_1 = frac(7 + 27)(2) = 17       ,         x_2 = frac(7 – 27)(2) = – 10 $

 

Dobbiamo scartare il risultato negativo, poiché la lunghezza di un segmento non può essere negativa.

$ x = 17 $

Ora troviamo il corrispondente valore di  $y$ :

$ y = frac(17 + 28)(3) = 15 $

Determiniamo il perimetro e l’area del triangolo:

$ P = AB + BC + CA = (8 + 17 + 15) cm = 40 cm$

$ A = frac(AC * BC)(2) = frac(8 cm * 15 cm)(2) = 60 cm^2 $

 

 

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