_antoniobernardo
di _antoniobernardo
(90 punti)
7' di lettura
3,6 / 5 (5)

In questo appunto viene proposta la risoluzione di un problema riguardante un trapezio rettangolo in cui è nota la differenza tra le basi, un lato obliquo e una relazione tra una base e l’altezza.
Per comprendere meglio la risoluzione del problema viene prima proposto un ripasso del trapezio, del trapezio rettangolo e delle sue caratteristiche.

Il trapezio e il trapezio rettangolo

Il trapezio è una figura piana (figura bidimensionale che è completamente contenuta in un piano), è composto da quattro lati di cui due sono paralleli.
Nel trapezio i segmenti che lo compongono assumono dei nomi particolari: i due lati paralleli prendono il nome di basi (la base più lunga prende il nome di base maggiore mentre quella più corta prende il nome di base minore), gli altri due lati del trapezio prendono il nome di lati obliqui.
Nel trapezio possono essere individuati alcuni elementi fondamentali come l’altezza e le diagonali.
L’altezza è il segmento che parte da un vertice del trapezio e che cade perpendicolarmente rispetto alla base della figura; la diagonale è il segmento che unisce due vertici non adiacenti del trapezio (nel trapezio esistono due diagonali, caratterizzate dall’avere una lunghezza differente).

L’area di un trapezio può essere calcolata note le lunghezze delle basi (B,b) e dell’altezza (h), utilizzando la seguente formula:

[math]Area=\frac{(B+b) \cdot h}{2}[/math]

Un particolare tipo di trapezio è il trapezio rettangolo; il trapezio rettangolo è un trapezio (ha due lati paralleli) avente un lato obliquo disposto in modo perpendicolare rispetto alle due basi.
Dato che il trapezio rettangolo ha un lato obliquo perpendicolare alle due basi, si ha che in un trapezio rettangolo tale lato corrisponde all’altezza della figura.

Come nel trapezio i segmenti che definiscono il trapezio prendono il nome di lati, i punti di intersezione tra due lati prendono il nome di vertici.
Due lati e il vertice compreso tra essi individua un angolo; il trapezio rettangolo è composto da 4 angoli: due angoli retti, un angolo ottuso e un angolo acuto.
Anche nel trapezio rettangolo possono essere individuati gli elementi caratteristici del trapezio: si possono individuare due diagonali (segmenti che congiungono due vertici non adiacenti della figura), tali due diagonali non sono congruenti.

Nel trapezio rettangolo è possibile utilizzare le stesse formule che si utilizzano per il trapezio generale: l’area della figura può essere quindi calcolata con la seguente formula:

[math]Area=\frac{(B+b) \cdot h}{2}[/math]

Dove B è la base maggiore, b è la base minore mentre h è l’altezza (che in questo caso coincide con un lato del trapezio).

Nel caso particolare in cui entrambi i lati obliqui del trapezio sono perpendicolari alle basi, si ha che la figura che si ottiene è un rettangolo, in questo caso la figura è composta da 4 angoli retti; la formula per il calcolo dell’area può essere semplificata ottenendo che l’area corrisponde al semplice prodotto della base per l’altezza.
Per ulteriori approfondimenti sul trapezio e le sue caratteristiche vedi anche qua
Per ulteriori approfondimenti sul rettangolo e le sue proprietà vedi anche qua

Esercizio

In un trapezio rettangolo la differenza delle basi e il lato obliquo, misurano rispettivamente 42 cm e 150 cm e l'altezza è otto terzi della base minore.
Figura trapezio rettangoloCalcola l'area del trapezio.

Soluzione
Riportiamo in seguito i dati del problema:
Differenza delle basi: (

[math]\overline{AB}-\overline{DC}=\overline{HB}=42 \text{cm}[/math]
)
Lato obliquo: (
[math]\overline{CB} = 150 \text{cm}[/math]
)
L’altezza è
[math]\frac{8}{3}[/math]
della base minore:
[math]\overline{CH}=\frac{8}{3} \overline{DC}[/math]

La formula che permette di calcolare l’area del trapezio contiene la somma della base minore e della base maggiore moltiplicate per l’altezza della figura, tutto diviso per due:

[math]Area=\frac{(B+b) \cdot h}{2}[/math]

Per calcolare l’area del trapezio è quindi necessario conoscere la lunghezza delle due basi della figura e dell’altezza.

Il problema ci fornisce la lunghezza dei segmenti

[math]\overline{HB}[/math]
e
[math]\overline{CB}[/math]
perciò possiamo utilizzare il teorema di Pitagora sul triangolo CHB per calcolare la lunghezza del segmento CH (segmento che corrisponde all’altezza del trapezio).
Il segmento
[math]\overline{CH}[/math]
è un cateto del triangolo CHB perciò il teorema di Pitagora può essere scritto nel seguente modo:
[math]\overline{CH} =\sqrt{\overline{CB}^2 – \overline{HB}^2} = \sqrt{150^2 – 42^2}= 144cm[/math]

Il problema ci fornisce le lunghezze dei segmenti in cm perciò tutte le lunghezze che troviamo e che calcoliamo saranno in cm, l’area, invece, essendo il prodotto tra due lunghezze, avrà come unità di misura i

[math]cm^2[/math]
.

Conosciamo la lunghezza dell’altezza perciò possiamo utilizzare la relazione che ci fornisce il problema tra l’altezza e la base minore per calcolare la lunghezza di quest’ultima.
La relazione fornita dal problema è:

[math]\overline{CH}=\frac{8}{3} \overline{DC}[/math]

Sappiamo che

[math]\overline{CH}=144cm[/math]
Perciò possiamo riscrivere la relazione fornita dal problema esplicitando il segmento
[math]\overline{DC}[/math]
:
[math]\overline{DC}=\frac{3}{8} \overline{CH} = \frac{3}{8} 144cm = 54cm[/math]

Nota la lunghezza della base minore possiamo calcolare la lunghezza della base maggiore utilizzando la relazione che considera la differenza tra le basi.
Sappiamo che:

[math]\overline{AB}-\overline{DC}=\overline{HB}=42 cm[/math]

Perciò la base maggiore è:

[math]\overline{AB} = \overline{DC} + 42 = (54+42) \text{cm} = 96 \text{cm})[/math]

A questo punto abbiamo calcolato tutti gli elementi che ci servono per calcolare l’area del trapezio; l’area del trapezio risulta essere:

[math]A = \frac{(B+b) \cdot h}{2} = \frac{(96+54) \cdot 144}{2} \text{cm}^2 = 10800 \text{cm}^2[/math]
Vuoi approfondire Geometria per le Medie con un insegnante esperto?
Trovalo su Ripetizioni.it