Rombo: problema svolto con il teorema di Pitagora

Il cric meccanico a manovella per sollevare l'auto è un bell’esempio di rombo. Quando si solleva o si abbassa, i suoi 4 lati rimangono sempre uguali e le diagonali, restano sempre perpendicolari. Riconoscere figure geometriche negli oggetti di uso quotidiano è un modo per mettere in pratica le conoscenze acquisite a scuola. Nell'appunto proponiamo lo svolgimento di un problema nel quale useremo il teorema di Pitagora, applicabile al rombo, grazie alle proprietà delle sue diagonali.

Rombo, definizione e proprietà

Il rombo è un parallelogramma con i lati congruenti.
Le diagonali di un rombo godono di tre proprietà molto importanti.
Consideriamo un generico rombo di vertici ABCD, indichiamo con AC la diagonale maggiore e BD la diagonale minore. Le misure delle due diagonali vengono indicate con D maiuscolo, per la maggiore e d minuscolo, per la minore.
In un rombo, le diagonali hanno le seguenti proprietà:
Le diagonali sono perpendicolari tra loro
Ogni diagonale è bisettrice degli angoli interni.
Le diagonali dividono il rombo in quattro triangoli rettangoli congruenti.
Essendo un parallelogramma, anche nel rombo è possibile tracciare l'altezza mandando la perpendicolare da un vertice al lato opposto.
In un rombo gli angoli opposti sono congruenti, ci sono due angoli acuti e due angoli ottusi.
Essendo il rombo un particolare parallelogramma gli angoli adiacenti ad ogni lato sono supplementari, ovvero la loro somma è di 180°.
Nel rombo i lati opposti sono paralleli.
Le due rette che contengono le diagonali sono anche gli assi di simmetria del poligono. Se pieghiamo la figura lungo ciascuna diagonale, i due triangoli che si formano ogni volta, sono perfettamente sovrapponibili e dunque congruenti.

l punto di intersezione delle diagonali è centro di simmetria per il rombo. Ogni coppia di punti che si trova su due lati opposti del rombo è simmetrica rispetto al punto medio delle diagonali. Ricordiamo che le diagonali si intersecano nel loro punto medio.

Perimetro e area, formule per il rombo

Il rombo ha quattro lati congruenti perciò il suo perimetro è semplicemente la somma dei lati:

da cui per ricavare la misura del lato:

la formula è equivalente alla seguente, semplificando i 2 con il 4:

in cui p è il semiperimetro.

È possibile calcolare l’area del rombo in tre modi diversi:

• Conoscendo la misura delle due diagonali
• Conoscendo la misura del lato e dell'altezza relativa ad esso
• Conoscendo la misura del lato e il raggio della circonferenza inscritta

Area del rombo, tre formule per calcolarla

Esaminiamo le tre formule per il rombo.
Quando sono note le misure delle due diagonali, l’area è data dal loro semiprodotto, perché un rombo è equivalente alla metà di un rettangolo che ha per lati proprio le due diagonali:

Conoscendo la misura del lato e dell'altezza relativa ad esso, l'area è data da:

Come tutti i parallelogrammi anche per il rombo l’area è data dal prodotto della misura del lato per l'altezza adesso relativa
Quando si conosce la misura del lato e il raggio della circonferenza inscritta, l'area si calcola come prodotto del lato per il diametro della circonferenza:

Il rombo può essere circoscritto ad una circonferenza. Abbiamo detto che l’intersezione delle due diagonali divide il rombo in quattro triangoli rettangoli. Ciascuno di questi triangoli rettangoli ha per ipotenusa il lato del rombo e per cateti le semi-diagonali. L’altezza relativa all’ipotenusa, cioè al lato del rombo è congruente al raggio della circonferenza inscritta.
L’area di ciascun triangolo è il semiprodotto del lato per il raggio:

Moltiplicando per quattro otteniamo l'area totale e quindi la formula vista sopra.

Rombo e teorema di Pitagora

A ciascuno dei quattro triangoli rettangoli, formati dalle due diagonali, si può applicare il teorema di Pitagora. 
Se il rombo ha l’angolo acuto che misura 60°, l'angolo ottuso è di 120° per la relazione di supplementarietà che li lega.
Tracciando la diagonale minore il rombo viene suddiviso in due triangoli equilateri, questo significa che la misura della diagonale minore risulta uguale a quella del lato del rombo.
Tracciando la diagonale maggiore il rombo viene suddiviso in due triangoli ciascuno dei quali è isoscele con gli angoli alla base di 30° e l'angolo al vertice di 120°. La diagonale maggiore è la base del triangolo isoscele.
Tracciando contemporaneamente le due diagonali ciascun triangolo equilatero viene suddiviso in due triangoli rettangoli che hanno gli angoli acuti di 30° e 60°.

In un triangolo rettangolo che ha gli angoli acuti di 30 e 60 è possibile esprimere i due cateti e l’ipotenusa in funzione di un’unica dimensione, quella del lato del rombo.
Consideriamo allora uno dei quattro triangoli, abbiamo le seguenti corrispondenze:

• ipotenusa=lato del rombo
• cateto maggiore=altezza del triangolo equilatero=semi-diagonale maggiore
• cateto minore=semi-diagonale minore=metà lato

Come anticipato, in un triangolo rettangolo che ha gli angoli acuti di 30° e 60°, la misura del cateto maggiore è legata alla misura del lato mediante la seguente relazione:

Nel paragrafo successivo svolgiamo un problema che prevede l’utilizzo di questa formula.

Problema sul rombo col teorema di Pitagora

Testo del problema
Un rombo ha un angolo ampio 60° e la diagonale maggiore misura 51,96 cm. Calcolare il perimetro e l’area del rombo.

Svolgimento

Per quanto visto al paragrafo precedente, dalla misura della diagonale maggiore possiamo ricavare subito la misura del lato del rombo e quindi calcolare il perimetro.
Riscriviamo la relazione tra diagonale maggiore e lato, e risolviamo rispetto al lato:

[math]h={D\over 2}[/math]
[math]{D\over 2}=\frac{l\sqrt{3}}{2}[/math]
[math]l={D\over \sqrt{3}}[/math]
[math]l=29.99cm \approx 30cm[/math]

Moltiplichiamo la misura del lato per quattro ed otteniamo il perimetro:

Per calcolare l'area dobbiamo prima determinare la misura della diagonale minore che, per quanto visto al paragrafo precedente, è uguale a quella del lato del rombo:

Note le misure delle due diagonali, facciamo il loro semiprodotto e calcoliamo l’area:

[math]A=\frac{D\cdot d}{2}[/math]
[math]A=\frac{51.96\cdot 30}{2} cm^2[/math]
[math]A=779,4 cm^2[/math]

Per ulteriori approfondimenti e problemi svolti sul rombo vedi anche qui