Per comprendere meglio la risoluzione di tale problema è prima utile ripassare le caratteristiche principali e gli elementi che caratterizzano il cono.
Il cono: definizione ed elementi caratteristici
Il cono è un solido tridimensionale generato dalla rotazione di un triangolo rettangolo intorno ad uno dei suoi cateti.Ricordiamo che il triangolo rettangolo è una figura piana (bidimensionale) composta da tre lati, due dei quali sono disposti in modo perpendicolare e prendono il nome di cateti mentre il terzo lato è opposto all’angolo retto e prende in nome di ipotenusa.
Il cono è quindi una figura di rotazione generata dalla rotazione di un triangolo rettangolo intorno ad uno dei due cateti; il cateto che sta sull’asse di rotazione non viene modificato e va a costituire l’altezza del cono, il cateto che è disposto in modo ortogonale rispetto all’asse di rotazione viene ruotato e dà origine alla base del cono.
La base del cono è composta da un cerchio.
La superficie di un cono è composta dalla superficie di base che corrisponde all’area del cerchio più la superficie laterale del cono che viene generata dall’ipotenusa del triangolo generatore.
La superficie del cono può essere calcolata noto l’apotema (a) del cono e il raggio (r) ; l’equazione che permette di trovare la superficie laterale del cono è:
Teorema di Pitagora e apotema
Dato un triangolo rettangolo, il teorema di Pitagora afferma che esiste una relazione tra la lunghezza dei cateti e dell’ipotenusa.Tale teorema afferma che: il quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti.
Sotto forma di equazione matematica corrisponde a:
Noti quindi due lati del triangolo rettangolo è possibile ricavare la lunghezza del terzo lato.
Dato un poligono regolare (poligono costituito da tutti lati uguali) si definisce apotema il raggio della circonferenza inscritta in tale figura o solido.
In un cono retto (ovvero un cono in cui l’altezza interseca la base nel centro del cerchio, un cono retto è quindi generato dalla rotazione di un triangolo rettangolo) si definisce l’apotema come la distanza del vertice dalla circonferenza di base.
Per ulteriori approfondimenti sul teorema di Pitagora vedi anche qua
Cerchio e circonferenza
Un cerchio è il luogo geometrico dei punti caratterizzati dall’avere la stessa distanza da un punto caratteristico chiamato centro.Un elemento caratteristico del cerchio è il raggio: distanza tra il centro e la circonferenza.
Nota la lunghezza del raggio è possibile calcolare la lunghezza della circonferenza e dell’area del cerchio.
La circonferenza del cerchio corrisponde alla lunghezza della linea che delimita il cerchio; tale grandezza può essere calcolata attraverso la seguente formula:
Dove r è il raggio della circonferenza.
L’area del cerchio corrisponde alla parte di spazio delimitata dalla circonferenza; tale area può essere calcolata attraverso la seguente formula:
Per ulteriori approfondimenti sul cerchio e la circonferenza vedi anche qua
Problema e risoluzione
Un solido è costituito da due coni aventi due basi in comune. Sapendo che il raggio di base misura 12cm, che l'altezza di uno dei due coni è 16 cm, mentre l'apotema dell'altro è 13 cm, calcola la distanza tra i due vertici del solido e l'area della superficie totale.Soluzione
In questo caso stiamo considerando due coni retti perciò in tali coni l’apotema coincide con la distanza che collega il vertice alla base, contenuto nella superficie laterale del cono; l’apotema coincide quindi con l’ipotenusa del triangolo rettangolo generatore.
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo generatore del primo cono è possibile ricavare l’apotema del cono, noto che la sua altezza è di 16 cm e il raggio di base di entrambi i coni è pari a 12 cm.
Abbiamo:
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo generatore del secondo cono è possibile ricavare l’altezza di un cono, noto che l'apotema del cono A è di 13 cm e il raggio di base di entrambi i coni è pari a 12 cm.
Dato che i due coni sono associati in modo da avere la base in comune si ha che la distanza tra i vertici è data dalla somma delle altezze, cioè
Per calcolare la superficie totale, calcoliamo prima la circonferenza di base dei due coni:
La superficie laterale del cono può essere calcolata noto il raggio della circonferenza di base e l’apotema del cono considerato.
La superficie laterale del cono A è allora:
La superficie laterale del cono B è invece:
La superficie totale del solido è infine data dalla somma delle superfici laterali dei due coni:
