francesco.speciale
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Il seguente appunto contiene un problema svolto che richiede il perimetro e l'area di un triangolo rettangolo dato uno dei cateti e l'ipotenusa. Affronteremo il problema svolto in due modi: il primo modo con l'utilizzo della geometria euclidea, nel secondo modo procederemo, invece, per via trigonometrica.

Area triangolo rettangolo

Useremo in questo problema, oltre alla "classica" formula dell'area (ossia
[math] A = \frac{bh}{2} [/math]
) la formula trigonometrica per il calcolo dell'area: ossia, data l'ipotenusa di un triangolo rettangolo e un cateto ad essa adiacente, l'area del triangolo rettangolo è data dal semiprodotto tra l'ipotenusa, il cateto e il seno dell'angolo compreso tra l'ipotenusa e il cateto. In formule,
[math]A=\frac{1}{2} ab \sin(\alpha)[/math]
.

Testo del problema svolto

Si calcoli il perimetro e l'area di un triangolo rettangolo che ha l'ipotenusa che misura
[math]35 \text{cm} [/math]
e il cateto minore che misura
[math]21 \text{cm} [/math]
.

Metodo 1: Teorema di Pitagora

D'ora in poi supporremo il triangolo avente l'angolo retto in
[math]B[/math]
.
Di conseguenza, l'ipotenusa sarà
[math]AC[/math]
, mentre gli altri due cateti saranno
[math]AB[/math]
e
[math]BC[/math]
.

Dati

  • [math]AC = 35 \text{cm}[/math]
  • [math]BC = 21 \text{cm}[/math]

Svolgimento

Per risalire all'area del triangolo
[math]ABC[/math]
, è necessario conoscere la misura dei due cateti in modo tale da poter applicare la formula dell'area (cioè l'area è uguale al semiprodotto tra base e altezza), ma di cateti ne abbiamo solo uno. Applichiamo pertanto il Teorema di Pitagora per calcolare il cateto rimanente
[math]AB[/math]
. Si ottiene quindi:
[math]AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{(35)^2-(21)^2} \text{cm}=\sqrt{1225-441}\text{cm}=\sqrt{784} \text{cm}=28 \text{cm}[/math]
.
Ora abbiamo dati sufficienti per risalire sia al perimetro che all'area.

Calcolo del perimetro

Per definizione, il perimetro è dato dalla somma di tutti i lati che compongono il triangolo.
[math]2p=AB+AC+BC=(28+35+21)\text{cm} = 84 \text{cm}[/math]
.

Calcolo dell'area

Notoriamente l'area è data dal semiprodotto tra base e altezza.
Pertanto, applicando la formula, si ottiene:
[math]A=\frac{BC \cdot AB}{2}=\frac{21 \cdot 28}{2} \text{cm}^2=294 \text{cm}^2[/math]
.

Metodo 2: Trigonometria

Supponiamo gli stessi dati di prima. Come detto nel primo paragrafo, possiamo dire che l'area di un triangolo è data dal semiprodotto tra i due lati e il seno dell'angolo compreso. Intanto, scriviamo nuovamente i dati.

Dati

  • [math]AC = 35 \text{cm}[/math]
  • [math]BC = 21 \text{cm}[/math]

Svolgimento:
È necessario trovare quindi il seno dell'angolo

[math]\widehat{ACB}[/math]
. Per fare ciò, utilizzeremo il Teorema dei Seni.
Possiamo stabilire la proporzione:
[math]AC : \sin(\widehat{ABC}) = BC : \sin(\widehat{BAC})[/math]
.
Essendo inoltre il triangolo rettangolo, sappiamo che
[math]\sin(\widehat{ABC})=1[/math]
. Da questo ricaviamo che
[math]\sin(\widehat{BAC})=\frac{21}{35}=\frac{3}{5}[/math]
per le proprietà delle proporzioni.
Tuttavia, noi cerchiamo il seno dell'angolo
[math]\widehat{ACB}[/math]
. Possiamo ricavarcelo con il seguente ragionamento: sappiamo intanto che
[math]\widehat{ACB}, \widehat{BAC}[/math]
sono complementari. È inoltre noto che negli angoli complementari seno e coseno si "scambiano", cioè avremo
[math]\sin ( \widehat{ACB} ) = \cos ( \widehat{BAC} )[/math]
e
[math]\cos ( \widehat{ACB} ) = \sin ( \widehat{BAC} )[/math]
.
Quindi
[math]\sin ( \widehat{ACB} ) = \cos ( \widehat{BAC} )[/math]
, in sostanza ci tocca determinare
[math]\cos ( \widehat{BAC}[/math]
. Dalla relazione fondamentale della trigonometria (cioè il seno al quadrato più il coseno al quadrato fa sempre 1) troviamo che
[math]\cos (\widehat{BAC}) = \sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}= \sin
( \widehat{ACB} )[/math]
.

Calcolo dell'area

Ora possiamo affermare che l'area del triangolo in questione è data da
[math]A = \frac{AC \cdot BC \cdot \sin( \widehat{ACB} )}{2}[/math]
ove, sostituendo, si ottiene:
[math]A=\frac{35 \cdot 21 \cdot \frac{4}{5}}{2} \text{cm}^2 = 294 \text{cm}^2[/math]
.
Per approfondimenti su questa formula, vedi anche qua.

Calcolo del perimetro

Abbiamo ora determinato l'area senza usare il cateto mancante, che tuttavia ora va determinato. Per definizione di seno e coseno avremo che
[math]AB = AC \cdot \sin(\widehat{ACB})[/math]
.
Quest'ultimo seno è già stato calcolato prima. Pertanto
[math]AB = 35 \cdot \frac{4}{5} = 28 \text{cm}[/math]
.
Si sarebbe potuto determinare l'altro cateto alternativamente. Conoscendo già l'area e un cateto, ci sarebbe bastato fare:
[math]AB = \frac{2A}{BC}=\frac{588 \text{cm} ^ 2}{28 \text{cm}}[/math]
.
Il perimetro
[math]2p[/math]
è quindi dato da
[math] 2p = AB+BC+CA = (28+21+35) \text{cm} = 84 \text{cm}[/math]
.
Per approfondimenti su seno e coseno, vedi anche qua.