Triangoli, caratteristiche generali
I triangoli sono i poligoni più semplici che si possono formare. Sono figure piane formate da tre lati e tre angoli e in base all’ampiezza degli angoli oppure al tipo di lati ne esistono di diversi tipi. Il triangolo rettangolo è denominato in questo modo perché possiede un angolo retto ovvero di ampiezza pari a 90° e gli altri due angoli sono acuti e sono anche complementari tra loro perché la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre uguale a 180°. Sempre in relazione al tipo di angoli abbiamo il triangolo acutangolo con angoli tutti i minori di 90°, il triangolo ottusangolo con un solo angolo ottuso è maggiore di 90° ma minore di 180°.Se invece consideriamo il tipo di lati abbiamo il triangolo isoscele che ha due lati congruenti detti lati obliqui mentre il terzo lato è detto semplicemente base; Il triangolo equilatero che ha tutti e tre i lati congruenti e anche gli angoli infatti esso è anche equiangolo; il triangolo scaleno ha i tre lati tutti diversi e anche i tre angoli differenti tra loro. questo tipo di triangolo è quello che disegniamo per dimostrare i criteri di congruenza e i criteri di similitudine.
Ci sono poi dei casi in cui lo stesso triangolo presenta contemporaneamente più caratteristiche vediamo alcuni esempi.
Un triangolo rettangolo che ha i due cateti congruenti è un particolare triangolo isoscele con un angolo retto e due angoli di 45° che sono i due angoli alla base coincidente con l’ipotenusa. Questo triangolo è la metà di un quadrato perciò l’ipotenusa è anche la diagonale del quadrato.
Un triangolo ottusangolo che ha i due lati congruenti è ancora una volta un particolare triangolo isoscele con un angolo ottuso e due angoli adiacenti alla base acuti, in questo caso lo si può considerare come la metà di un rombo e la sua base coincide con la diagonale maggiore.
Per ulteriori approfondimenti sui criteri di similitudine vedi qua
Triangolo rettangolo cateti e ipotenusa
In un triangolo rettangolo i tre lati vengono denominati in modo particolare, i due lati perpendicolari tra loro cioè quelli che comprendono l’angolo retto sono detti cateti, quello più lungo è il cateto maggiore l’altro è minore, il terzo lato viene denominato ipotenusa.Dei tre lati che formano questo triangolo l’ipotenusa è il maggiore ed è opposto all’angolo retto mentre ciascun cateto è sempre opposto ad un angolo acuto.
Negli altri tipi di triangoli non troviamo mai un lato che si chiama ipotenusa perché questo lato deve essere sempre opposto ad un angolo retto e l’unico triangolo che possiede un angolo retto è il triangolo rettangolo.
Il triangolo rettangolo è una delle figure più importanti della geometria perché esiste una relazione che lega le misure dei suoi lati, il teorema di Pitagora. In virtù di questo teorema è possibile comporre e scomporre i poligoni regolari e non, e calcolarne le aree. Altri due teoremi importanti e validi sempre per questa classe di triangoli, sono i due teoremi di Euclide.
Per ulteriori approfondimenti sulla classificazione dei triangoli vedi qua
Enunciati dei teoremi sul triangolo rettangolo
Rivediamo brevemente l’enunciato nel teorema di Pitagora che useremo per la risoluzione del problema proposto, e gli enunciati dei due teoremi di Euclide.Teorema di Pitagora
In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
Scriviamo anche in simboli questa importante relazione.consideriamo un triangolo rettangolo e indichiamo con A, B e C i suoi vertici, AB il cateto maggiore, BC il cateto minore e AC la sua ipotenusa.
Il teorema afferma la seguente identità:
Primo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito su di un cateto è uguale all’area del al rettangolo costruito sull’ipotenusa che ha per lati la proiezione del cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa
Enunciato del primo teorema con le proporzioni:
In un triangolo rettangolo ciascun cateto è medio proporzionale tra la sua proiezione sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa.
Secondo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è augurale all’area del rettangolo costruito sull’ipotenusa che ha per lati le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa stessa
Enunciato del secondo teorema con le proporzioni:
In un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa stessa
Per ulteriori approfondimenti sulle proprietà delle proporzioni vedi qua
Calcolo di area e perimetro nota la somma di un cateto con l’ipotenusa è il loro rapporto
Proseguiamo il nostro appunto svolgendo un classico problema la cui consegna è il calcolo di area e perimetro di un triangolo rettangolo nel quale non sono note le misure di tutti e tre i lati ma solo le relazioni che intercorrono tra essi. Nei problemi di questo tipo bisogna individuare bene quali sono le relazioni e come trasformarle in relazioni matematiche.Testo del problema
In un triangolo rettangolo la somma della misura del cateto minore e dell'ipotenusa è
Per quanto seguirà facciamo riferimento alla figura sottostante e ricordiamo che il triangolo si può disegnare anche con l’ipotenusa in orizzontale, l’importante è riconoscere sempre la posizione dell’angolo retto per stabilire chi sono i due cateti. Nel triangolo sottostante le misure dei due cateti sono rispettivamente b e c, la misura dell’ipotenusa è a.
Ricordiamo inoltre che i vertici vanno indicati con le lettere maiuscole A, B e C, mentre le misure dei lati sempre con le minuscole come abbiamo scritto.
Dati
Svolgimento
Per calcolare sia il perimetro che l’area dobbiamo conoscere la misura dei tre lati.Cosa sappiamo sulla base dei nostri dati?
Conosciamo la somma di un cateto con l’ipotenusa e conosciamo anche la relazione che lega le misure di questi due lati.
Come possiamo procedere per svolgere il nostro problema?
Essendo nota la somma di due grandezze e anche il loro rapporto possiamo utilizzare le proporzioni e applicare la proprietà del comporre. In questo modo troviamo la misura del cateto e poi passiamo al calcolo dell’ipotenusa. Successivamente per determinare la misura dell’altro cateto useremo il teorema di Pitagora, estraendo la radice quadrata della differenza tra il quadrato della misura dell’ipotenusa e il quadrato della misura dell’altro cateto.
Scriviamo la proporzione tra cateto minore e ipotenusa:
applichiamo la proprietà del comporre e troviamo la misura del cateto minore:
proseguiamo con i calcoli:
Il termine incognito è un medio, per la proprietà fondamentale delle proporzioni sappiamo che dobbiamo moltiplicare i due estremi e dividere per l’altro medio:
Ora otteniamo la misura dell’ipotenusa per differenza:
Il fatto che
è individuato da sole
Applichiamo ora il teorema di Pitagora per determinare la misura del cateto maggiore.
Ora che sono note le misure di tutti e tre i lati è possibile calcolare il perimetro facendone la somma.
Il perimetro è:
L’area è data dal semiprodotto delle misure dei due cateti, essendo essi perpendicolari tra loro si possono considerare in maniera del tutto indifferente, come base e altezza del triangolo.
L'area è dunque:
Per ulteriori problemi di geometria sui triangoli rettangoli vedi qua
