Fra tutti i rettangoli di perimetro
[math]2p[/math]
([math]p > 0[/math]
) determinare quello di area massma.Il semiperimetro del rettangolo vale
[math]p[/math]
, quindi chiamando con [math]x[/math]
la base ([math]0 \le x \le p[/math]
) si deduce che l'altezza vale [math]p - x[/math]
. Da notare che se [math]x = 0 \vee x = p[/math]
il rettangolo degenera in un segmento. La funzione che rappresenta l'area al variare di [math]x[/math]
è
[math]f: [0, p] \to \mathbb{R}: x maps o x(p-x)[/math]
Per studiare il massimo assoluto di tale funzione si può calcolare la derivata prima.
[math]f'(x) = p - 2x[/math]
La derivata prima si azzera in
[math]x = \frac{p}{2}[/math]
, e dallo studio del segno della derivata prima si nota che in tale punto c'è un massimo.Dato che
[math]f(0) = f(p) = 0[/math]
, e [math]f(\frac{p}{2}) = \frac{p^2}{4} > 0[/math]
, allora in [math]x = \frac{p}{2}[/math]
la [math]f[/math]
assume il massimo assoluto.Quindi il rettangolo di area massima avente perimetro
[math]2p[/math]
è quello che ha base [math]\frac{p}{2}[/math]
e altezza [math]\frac{p}{2}[/math]
, ovvero il quadrato di perimetro [math]2p[/math]
.
FINE
