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In questo appunto viene proposto e viene svolto un esercizio di geometria analitica utile per prepararsi all’esame di stato di un liceo scientifico; tale problema riguarda un trapezio inscritto in una parabola.

Testo del problema

Considerata la parabola γ di equazione

[math]y=4x-x^2[/math]

, determinare il trapezio isoscele di area massima inscritto nel segmento parabolico di γ appartenente al primo quadrante.

Studiamo le caratteristiche della parabola:

Ricordiamo che una parabola è il luogo geometrico dei punti caratterizzati dall’avere i punti equidistanti da un punto fisso che prende il nome di fuoco e da una retta che prende il nome di direttrice.
La parabola è caratterizzata da un’equazione generale con la seguente forma:

[math]y=ax^2+bx+c[/math]

L’elemento fondamentale di una parabola è il fatto di contenere un termine al quadrato all’interno dell’equazione; il coefficiente (a) di tale termine al quadrato determina la concavità della parabola indipendentemente dal valore del coefficiente.
Se tale coefficiente è positivo allora la parabola ha la concavità verso l’alto mentre se tale coefficiente è negativo allora la parabola avrà una concavità verso il basso.

La parabola riportata nel problema ha equazione

[math]y=4x-x^2[/math]

Dato che il coefficiente del termine di secondo grado è negativo si ha che la parabola ha concavità verso il basso.
Possiamo ora calcolare alcuni elementi caratteristici della parabola quali il vertice e le eventuali intersezioni con gli assi.

Per quanto riguarda il calcolo delle coordinate del vertice possiamo utilizzare le formule che ci forniscono le coordinate di tale punto, noti i parametri dell’equazione della parabola; tali equazioni sono:

[math]V=(-\frac{b}{2a} ; -\frac{b^2-4ac}{4a})[/math]

Osservando l’equazione della parabola e confrontandola con l’equazione generale

[math]y=ax^2+bx+c[/math]

possiamo affermare che:

[math]a=-1[/math]

[math]b=4[/math]

[math]c=0[/math]

Sostituendo tali valori nelle equazioni che permettono di esprimere le coordinate del vertice otteniamo che:

[math]V=(-\frac{4}{-2} ; -\frac{4^2}{-4}) = (2;4)[/math]

Proviamo a calcolare ora le coordinate dei punti di intersezione tra la parabola e l’asse x, per fare ciò poniamo y=0 e risolviamo l’equazione (l’equazione è di secondo grado, perciò si otterranno due soluzioni).

[math]4x-x^2=0[/math]

Per risolvere tali equazioni possiamo procedere con la scomposizione del membro di destra, dato che nell’equazione non è presente un termine noto, per scomporre l’espressione è sufficiente raccogliere la variabile x.

[math]x(4-x)=0[/math]

Le soluzioni dell’equazione possono essere trovate ponendo uguale a zero i due fattori del prodotto, facendo ciò si ottiene che le intersezioni con l’asse delle ordinate sono

[math]x=0[/math]

[math]x=4[/math]

La parabola di equazione

[math]y=4x-x^2[/math]

ha quindi asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate, come vertice V(2;4) e passa per l’origine O degli assi cartesiani.

Il secondo punto in cui taglia l’asse delle ascisse è A(4;0).

A questo punto è consigliato tracciare il grafico della parabola in un piano cartesiano in modo da comprendere meglio il problema (tale grafico è riportato nel file che si trova in allegato).
Per ulteriori approfondimenti sul calcolo del vertice della parabola vedi anche qua

Risoluzione del problema:

Per risolvere il problema occorre condurre una retta s parallela all’asse delle ascisse, che intersechi l’arco di parabola contenuto nel primo quadrante nei punto P e Q e determinare per quale posizione di s il quadrilatero convesso di vertici O, A, P, Q, che è un trapezio isoscele per la simmetria di cui gode la parabola, ha area massima.

In riferimento alla figura a lato risulta:

Q(x ;4x-x^2), con 0≤x≤2.
Il punto P è simmetrico di Q rispetto all’asse di simmetria x=2 della parabola e dunque le sue coordinate sono
[math]x_P=4-x_Q=4-x;[/math]

[math]y_P=y_Q=4x-x^2[/math]
La misura della base maggiore OA del trapezio è quattro e la misura della base minore QP è
[math]\overline{QP}=x_P-x_Q=4-2x[/math]

L’altezza del trapezio è uguale al valore delle ordinate dei punti P, Q:
[math]h=4x-x^2[/math]

Ciò premesso, ricordiamo che in generale l’area del trapezio si trova sommando la base maggiore (B) e la base minore (b), moltiplicando per l’altezza (h) e dividendo il tutto per 2; in seguito è riportata la formula sotto forma di espressione matematica:

[math]A=\frac{(b+B) \cdot h}{2}[/math]

Il problema ci richiede il calcolo dell’area del trapezio iscritto nella circonferenza perciò per prima cosa bisogna individuare gli elementi del trapezio e le relative lunghezze, fatto ciò è possibile affermare che l’area del trapezio OAPQ è:

[math]S(x)=\frac{\overline{OA}+\overline{QP} \cdot h}{2}= x(4-x)^2[/math]

Si deve determinare il valore del massimo assoluto della funzione ottenuta con x variabile nell’intervallo [0;2].
Poiché la funzione in esame è un polinomio, che è continua, nonché derivabile, per il teorema di Weierstrass siamo certi che ammetterà il valore massimo.
Ricordiamo che per determinare il massimo di una funzione a una variabile (la variabile x) è necessario calcolare la derivata prima della funzione e porla uguale a zero, una volta fatto ciò è possibile trovare i valori della variabile x per i quali si ha il massimo della funzione (in questo caso la funzione corrisponde all’area del trapezio).