_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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2' di lettura
Semplifica le seguenti espressioni con i radicali :

[math] \sqrt{frac(a - 1)(a + 1)} \cdot \sqrt(a^2 - 1)[/math]

Svolgimento

[math] \sqrt{frac(a - 1)(a + 1)} \cdot \sqrt(a^2 - 1)[/math]

Poniamo le condizioni di esistenza: C.E:

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
frac{a - 1}{a + 1} ≥ 0 &\
a^2 - 1 ≥ 0&
end{array}\right.
[math][/math]

Cominciamo dalla prima disequazione:

[math] frac(a - 1)(a + 1) ≥ 0[/math]

[math] N ≥ 0 \to a - 1 ≥ 0 \to a ≥ 1 [/math]

[math] D > 0 \to a + 1 > 0 \to a > - 1 [/math]

Studiamo il segno e prendiamo come soluzioni gli intervalli positivi:

[math] a

Passiamo alla seconda disequazione:

[math] a^2 - 1 ≥ 0 [/math]

Passiamo all'equazione associata:

[math] a^2 - 1 = 0[/math]

[math] a^2 = 1 \to a = ± 1[/math]

Prendiamo come soluzioni l'intervallo che ha per estremi le radici dell'equazione associata:

[math] a ≤ -1 ∨ a ≥ 1[/math]

Il sistema sarà quindi:

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
a a ≤ -1 ∨ a ≥ 1&
end{array}\right.
[math][/math]

Si ottiene:

[math] a

Semplifichiamo ora l'espressione:

[math] \sqrt{frac(a - 1)(a + 1)} \cdot \sqrt(a^2 - 1) = [/math]

[math] \sqrt{frac(a - 1)(a + 1)} \cdot \sqrt((a + 1)(a - 1)) [/math]

Portiamo sotto un'unica radice:

[math] \sqrt{frac(a - 1)(a + 1) \cdot (a + 1)(a - 1) } = [/math]

[math] \sqrt{(a - 1)(a - 1)} =[/math]

[math] \sqrt{(a - 1)^2}[/math]

Dato che

[math]a-1[/math]
può essere sia positivo che negativo, dobbiamo portarlo fuori radice in valore assoluto:

[math] \sqrt{(a - 1)^2} = | a - 1| [/math]
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